Odpowiedź:
Długość wysokości drugiego ostrosłupa wynosi H = 3√3
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ostrosłup prawidłowy trójkątny, to podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a = 10 i wysokości ostrosłupa H = 12.
Poprowadzimy wysokość trójkąta równobocznego h, która dzieli trójkąt na połowy, podstawę na połowy, a/2 = 5, to z tw. Pitagorasa
mamy: h² + 5² = 10² to h² = 10² – 5² = 100 – 25 = 75 = 25•3 /√
[pierwiastkujemy obie strony równania (pogrubione) pierwiastkiem drugiego stopnia (pierwiastkiem kwadratowym) /√, gdzie: √h² = h, ponieważ skraca nam się wykładnik potęgi ² ze stopniem pierwiastka 2; √(25•3) = 5√3 ponieważ √25 = 5 bo 5² = 25, a 3 zostaje pod
znakiem pierwiastka √3]
to √h² = √(25•3) to h = 5√3.
Teraz możemy zastosować ogólny wzór na pole trójkąta (połowa iloczynu podstawy a i wysokości h) P = a•h/2 = 10•5√3/2 = 25√3 cm²
[oczywiste, że można było skorzystać z gotowych wzorów na trójkąt równoboczny: h = a√3/2 i P = a•h/2 to
P = a²√3/4 = 10²√3/4 = 100√3/4 = 25√3; (ale właśnie zależy, o co nam chodzi przy rozwiązywaniu zadań..., czy uczyć się na szczegółowym toku rozwiązywania, czy skrócić wszystko do tego kwadratowego nawiasu [ ], bo gotowych wzorów mamy wszędzie pełno! Moim zdaniem, lepiej jest mniej rozwiązać zadań, ale wiemy co z czego wynika, wtedy nawet nie musimy pamiętać tych gotowych wzorów, bo w każdej chwili będziemy umieli sobie te wzory wyprowadzić. ]
Celem naszym jest: obliczenie objętości tego ostrosłupa, by porównać do objętości drugiego ostrosłupa (prawidłowego kwadratowego).
Objętość ostrosłupa V (podobnie i stożka) oblicza się z jednej trzeciej iloczynu pola podstawy P i wysokości ostrosłupa H: to mamy:
V = (1/3)PH = (1/3)•25√3•12 = [skraca nam się w mianowniku 12 z
licznikiem 3] to V = (4)•25√3 = 100√3 cm³
Nasz drugi ostrosłup prawidłowy czworokątny, a więc podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a = 10 to pole P = 10² = 100 cm²
to V = (1/3)•100•H = V = 100•H/3 cm³ gdzie H jest szukaną wysokością drugiego ostrosłupa, to porównujemy objętości obuch
ostrosłupów: 100•H/3 = 100√3 /:100 [dzielimy obie strony równania przez /:100] to H/3 = √3 /•3 [mnożymy obie strony równania przez /•3] to
Odpowiedź: Długość wysokości drugiego ostrosłupa wynosi H = 3√3
