Rozwiązane

a) Wrzucamy 21 jednakowych owoców do 4 różnych skrzynek. Na ile sposobów możemy to
zrobić?
b) Na ile sposobów możemy to zrobić, jeśli w trzeciej skrzynce muszą znaleźć się co najmniej 2 owoce?
Zadanie, studia, matematyka dyskretna, kombinatoryka

Odpowiedź :

Konrad509viz

[tex]n[/tex] nierozróżnialnych obiektów można umieścić w [tex]k[/tex] pojemnikach na [tex]\displaystyle\\\binom{n+k-1}{k-1}[/tex] sposobów.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

a)

[tex]n=21\\k=4\\\\\displaystyle\\\binom{21+4-1}{4-1}=\binom{23}{3}=\dfrac{23!}{3!20!}=\dfrac{21\cdot22\cdot23}{2\cdot3}=1771[/tex]

b)

Policzę ile jest sposobów gdy w trzeciej skrzynce jest jeden owoc lub nie ma żadnego, a następnie odejmę wynik od ilości sposobów umieszczenia owoców dowolnie, czyli tego co wyszło w punkcie a).

  • gdy jest jeden owoc

    [tex]n=20\\k=3\\\\\displaystyle\\\binom{20+3-1}{3-1}=\binom{22}{2}=\dfrac{22!}{2!20!}=\dfrac{21\cdot22}{2}=231[/tex]

  • gdy nie ma żadnego owocu

    [tex]n=21\\k=3\\\\\displaystyle\\\binom{21+3-1}{3-1}=\binom{23}{2}=\dfrac{23!}{2!21!}=\dfrac{22\cdot23}{2}=253[/tex]

Zatem sposobów umieszczenia owoców tak, aby w trzeciej skrzynce znalazły się co najmniej 2 owoce, jest [tex]1771-231-253=1287[/tex].