Odpowiedź :
Zad. 6***.
Niech n + 1 = x², n - 110 = y², x>y.
x² - y² = (n+1) - (n - 110) = 111
(x + y) * (x - y) = 111
111 = 3 * 37
Zatem istnieją dwa rozwiązania:
1)
x + y = 37, x - y = 3
2x = 40
x = 20
y = 37 - x = 17
Wtedy n + 1 = x², n = 399
2)
x + y = 111
x - y = 1
2x = 112
x = 56
y = 111 - x = 55
Wtedy n = x² - 1 = 3135
Odp. Najmniejszym n spełniającym warunki zadania jest n = 399.
Zad. 4. Ustal zbiór rozwiązań:
a) równania (9-6x+x²)(x²-1)=0
(9-6x+x²)(x²-1)=0
(3 - x)² * (x + 1) * (x - 1) = 0
Iloczyn czterech liczb wynosi 0, zatem jedna z nich to 0.
3 - x = 0 lub x + 1 = 0 lub x - 1 = 0
x = 3 lub x = -1 lub x = 1
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór {-1, 1, 3}
b) nierówności (x²+7)(x+2)/x² ≥0
Dziedzina: x≠ 0
(x²+7)(x+2)/x² ≥0
Ułamek ma być większy lub równy 0, zatem iloczyn licznika i mianownika też musi być większy lub równy 0.
(x²+7) * (x+2) * x² ≥0
Zauważmy, że lewa strona przyjmuje wartość 0 tylko dla x = 0 lub x = -2.
Rysujemy teraz szkic wykresu, którego miejsca zerowe to -2 oraz 0 (zaczynamy rysowanie od góry, w 0 odbijamy, przechodzimy przez -2).
Odczytujemy zbiór rozwiązań:
x∈<-2, 0) suma (0, +∞) (bo 0 nie należy do dziedziny).
Niech n + 1 = x², n - 110 = y², x>y.
x² - y² = (n+1) - (n - 110) = 111
(x + y) * (x - y) = 111
111 = 3 * 37
Zatem istnieją dwa rozwiązania:
1)
x + y = 37, x - y = 3
2x = 40
x = 20
y = 37 - x = 17
Wtedy n + 1 = x², n = 399
2)
x + y = 111
x - y = 1
2x = 112
x = 56
y = 111 - x = 55
Wtedy n = x² - 1 = 3135
Odp. Najmniejszym n spełniającym warunki zadania jest n = 399.
Zad. 4. Ustal zbiór rozwiązań:
a) równania (9-6x+x²)(x²-1)=0
(9-6x+x²)(x²-1)=0
(3 - x)² * (x + 1) * (x - 1) = 0
Iloczyn czterech liczb wynosi 0, zatem jedna z nich to 0.
3 - x = 0 lub x + 1 = 0 lub x - 1 = 0
x = 3 lub x = -1 lub x = 1
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór {-1, 1, 3}
b) nierówności (x²+7)(x+2)/x² ≥0
Dziedzina: x≠ 0
(x²+7)(x+2)/x² ≥0
Ułamek ma być większy lub równy 0, zatem iloczyn licznika i mianownika też musi być większy lub równy 0.
(x²+7) * (x+2) * x² ≥0
Zauważmy, że lewa strona przyjmuje wartość 0 tylko dla x = 0 lub x = -2.
Rysujemy teraz szkic wykresu, którego miejsca zerowe to -2 oraz 0 (zaczynamy rysowanie od góry, w 0 odbijamy, przechodzimy przez -2).
Odczytujemy zbiór rozwiązań:
x∈<-2, 0) suma (0, +∞) (bo 0 nie należy do dziedziny).