Cześć!
Przykład a)
Trzy kolejne liczby naturalne to [tex]n[/tex], [tex]n+1[/tex], [tex]n+2[/tex], oczywiście dla [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Zatem iloczyn tych liczb to:
[tex]n(n+1)(n+2)[/tex]
Skoro wiemy, że te liczby są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi, to na pewno przynajmniej jedna będzie liczbą parzystą, a w konsekwencji podzielną przez 2. Co więcej, na pewno tylko jedna z nich będzie również podzielna przez 3, zatem skoro iloczyn jest podzielny przez 2 i 3, to na pewno jest podzielny przez [tex]2 \cdot 3 = 6[/tex], co kończy dowód.
Przykład b)
Trzy kolejne liczby parzyste to [tex]2n[/tex], [tex]2n+2[/tex], [tex]2n+4[/tex], dla [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex] Iloczyn tych liczb to:
[tex]2n(2n+2)(2n+4) = 2n\cdot 2(n+1)\cdot 2(n+2) = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot n(n+1)(n+2) =\\\\= 8n(n+1)(n+2)[/tex]
Widzimy, że [tex]n(n+1)(n+2)[/tex] to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Podobnie jak wcześniej, na pewno przynajmniej jedna jest liczbą parzystą, czyli podzielną przez 2, a na dodatek tylko jedna z nich będzie podzielna przez 3. Skoro iloczyn jest podzielny przez 2, 3 i 8, to na pewno jest podzielny przez [tex]2 \cdot 3 \cdot 8 = 6\cdot 8 =48[/tex], co kończy dowód.
Przykład c)
Cztery kolejne liczby naturalne to [tex]n[/tex], [tex]n+1[/tex], [tex]n+2[/tex], [tex]n+3[/tex] i [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Zatem iloczyn tych trzech liczb to:
[tex]n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex]
Wśród czterech kolejnych liczb naturalnych na pewno jedna jest podzielna przez 2, a także inna, podzielna przez 4. Ponadto wśród tych liczb na pewno znajdziemy liczbę podzielną przez 3. Zatem skoro iloczyn jest podzielny przez 2,3,4, to na pewno jest podzielny przez [tex]2\cdot 3 \cdot 4 = 24[/tex], co kończy dowód.
Pozdrawiam!
