BloowiftKillviz
Rozwiązane

22. Wypisz elementy zbioru:
a) A = {x: x ∈ N i x ≤ 7}
b) B = {x: x ∈ Z i -3 ≤ x < 4}
c) C = {x: x = 2k - 1 i k ∈ N ∩ (-2,5>}
d) D = {x: x = 3k + 1 i k ∈ Z}

Odpowiedź :

Gharicviz

Cześć!

Przykład a)

Czytamy: Zbiór A składa się z takich iksów, że iks jest liczbą naturalną i (i równocześnie) iks jest mniejszy bądź równy 7. Stąd dwa założenia o iksie. Skoro pojawił się spójnik logiczny "i", mamy do czynienia z koniunkcją, czyli iloczynem (częścią wspólną) rozwiązań. Część wspólną idealnie wyraża układ równań:

[tex]\left\{ \begin{array}{ll}x \in \mathbb{N}}\\x\leq 7}\end{array} \right.[/tex]

Wiemy, że [tex]x\leq 7[/tex] to inaczej [tex]x \in (-\infty; 7\rangle[/tex]. Zgodnie z pierwszym równaniem, a tym samym pierwszym założeniem, każdy iks musi być naturalny, więc wybieramy z tego przedziału wszystkie liczby naturalne (liczba naturalna to liczba dodatnia, bez części ułamkowej, dzięki liczbom naturalnym możemy np. ponumerować kolegów w klasie), które są mniejsze bądź równe 7. Zatem ostatecznie:

[tex]A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}[/tex], choć obecność zera w tym zbiorze może być kwestią sporną, gdyż wielu matematyków nie uznaje zera jako liczby naturalnej.

Przykład b)

Czytamy: Zbiór B składa się z takich iksów, że iks jest liczbą całkowitą i (i równocześnie) jest większy bądź równy -3, a także mniejszy niż 4. Stąd kolejne dwa założenia o iksie spięte w układ równań:

[tex]\left\{ \begin{array}{ll}x \in \mathbb{Z}}\\-3\leq x< 4}\end{array} \right.[/tex]

Podwójną nierówność [tex]-3\leq x < 4[/tex] możemy inaczej zapisać jako [tex]x \in \langle -3; 4)[/tex]. Zgodnie z pierwszym równaniem/założeniem, wybieramy z tego przedziału wszystkie liczby całkowite (liczba całkowita to każda liczba naturalna, liczba do niej przeciwna, a także zero). Zatem ostatecznie:

[tex]B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}[/tex]

Przykład c)

Czytamy: Zbiór C składa się z takich iksów postaci [tex]x=2k-1[/tex], dla każdej wartości parametru k, należącej do iloczynu zbioru liczb naturalnych i przedziału liczbowego [tex](-2, 5\rangle[/tex]. Zapisując za pomocą układu:

[tex]\left\{ \begin{array}{ll}x =2k-1}\\k \in \mathbb{N} \ \cap \ (-2; 5\rangle}\end{array} \right.[/tex]

Określmy konkretniej, do jakiego zbioru należy parametr k. Szukamy części wspólnej zbioru liczb naturalnych i przedziału  [tex](-2, 5\rangle[/tex], czyli wszystkich liczb, które równocześnie są liczbami naturalnymi, a także należą do tego przedziału. Stąd [tex]k \in \{0,1,2,3,4,5\}[/tex], choć tak jak wyżej, niektórzy mogą nie uznawać [tex]k=0[/tex].

Teraz dla powyższych wartości k, obliczymy wartość równania [tex]x=2k-1[/tex]:

  • [tex]k=0 \Longrightarrow x=2\cdot 0 -1 \iff x =-1[/tex]
  • [tex]k=1 \Longrightarrow x=2\cdot 1 -1 \iff x =1[/tex]
  • [tex]k=2 \Longrightarrow x=2\cdot 2 -1 \iff x =3[/tex]
  • [tex]k=3 \Longrightarrow x=2\cdot 3 -1 \iff x =5[/tex]
  • [tex]k=4 \Longrightarrow x=2\cdot 4 -1 \iff x =7[/tex]
  • [tex]k=5 \Longrightarrow x=2\cdot 5 -1 \iff x =9[/tex]

Stąd ostatecznie: [tex]C=\{-1, 1,3,5,7,9\}[/tex]

Przykład d)

Czytamy: Zbiór D składa się z takich iksów postaci [tex]x=3k+1[/tex], dla każdej wartości parametru k, należącej do zbioru liczb całkowitych. W układzie równań wygląda to tak:

[tex]\left\{ \begin{array}{ll}x =3k+1}\\k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.[/tex]

Tak naprawdę, to ten zbiór będzie miał nieskończenie wiele elementów, gdyż istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych. My jednak wypiszemy kilka z nich, dla dowolnych, kolejnych wartości k:

  • [tex]k=-2 \Longrightarrow x=3\cdot (-2)+1 \iff x=-5[/tex]
  • [tex]k=-1 \Longrightarrow x=3\cdot (-1)+1 \iff x=-2[/tex]
  • [tex]k=0 \Longrightarrow x=3\cdot 0+1 \iff x=1[/tex]
  • [tex]k=1 \Longrightarrow x=3\cdot 1+1 \iff x=4[/tex]
  • [tex]k=2 \Longrightarrow x=3\cdot 2+1 \iff x=7[/tex]

Zbiór jest nieskończony z obu stron, dlatego na początku, jak i na końcu postawimy trzykropek. Zatem finalnie: [tex]D = \{..., -5, -2, 1, 4, 7, ...\}[/tex]

Pozdrawiam serdecznie!

Viz Inne Pytanie