Odpowiedź:
[tex]\cos \alpha=1-\sqrt{2}[/tex]
Rozwiązanie:
Skorzystajmy z Twojego rysunku.
Najpierw weźmy pod uwagę informację o stosunku:
[tex]$\frac{2R+2a}{2R+2a+2c} =\frac{2}{3}[/tex]
[tex]$\frac{R+a}{R+a+c}=\frac{2}{3} \iff 3(R+a)=2(R+a)+2c \iff R+a=2c[/tex]
Przekształćmy jeszcze nieco tę równość:
[tex]R=2c-a[/tex]
Teraz z trójkąta prostokątnego [tex]ABD[/tex] (tak, jest to trójkąt prostokątny, bo kąt [tex]\angle ADB[/tex] jest oparty na średnicy, więc jest prosty) (tw. Pitagorasa) mamy:
[tex]c^{2}+|DB|^{2}=(2R)^{2} \iff |DB|^{2}=4R^{2}-c^{2}[/tex]
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie [tex]DBC[/tex] mamy:
[tex]4R^{2}-c^{2}=(2a)^{2}+c^{2}-2 \cdot 2a \cdot c \cdot \cos \alpha[/tex]
[tex]$4R^{2}-c^{2}=4a^{2}+c^{2}-4ac \cos \alpha \iff \cos \alpha = \frac{4a^{2}+2c^{2}-4R^{2}}{4ac}[/tex]
Podstawiając [tex]R=2c-a[/tex] mamy (po przekształceniach):
[tex]$\cos \alpha = \frac{-7c+8a}{2a}[/tex]
Zauważmy też, że [tex]\beta =180^{\circ}-\alpha[/tex]. Zatem:
[tex]$\cos \beta=\cos (180^{\circ}-\alpha)=-\cos \alpha=\frac{R-a}{c} \iff \cos \alpha =\frac{a-R}{c}[/tex]
Wiemy, że [tex]R=2c-a[/tex], a stąd, że [tex]a-R=2a-2c[/tex], czyli:
[tex]$\cos \alpha =\frac{2a-2c}{c}[/tex]
Porównując obie wartości cosinusów mamy:
[tex]$\frac{2a-2c}{c} =\frac{-7c+8a}{2a}[/tex]
[tex]4a^{2}-4ac=-7c^{2}+8ac[/tex]
[tex]4a^{2}-12ac+7c^{2}=0[/tex]
[tex]\Delta_{a}=144c^{2}-4 \cdot 4 \cdot 7c^{2}=32c^{2} \iff \sqrt{\Delta_{a}}=4\sqrt{2}c[/tex]
[tex]$a_{1}=\frac{12c+4\sqrt{2}c}{8} =\frac{(3+\sqrt{2})c }{2}[/tex]
[tex]$a_{2}=\frac{12c-4\sqrt{2}c}{8} =\frac{(3-\sqrt{2})c}{2}[/tex]
Wybieramy drugie rozwiązanie i podstawiamy do cosinusa:
[tex]$\cos \alpha =\frac{2a-2c}{c} =\frac{2a}{c} -2=\frac{(3-\sqrt{2})c }{c }-2=3-\sqrt{2}-2=1-\sqrt{2}[/tex]
Rozwiązanie dość zawiłe (ale własne :)), w internecie najprawdopodobniej znajdziesz prostsze.
