a) [tex]V=6\sqrt{66}[/tex]
b) [tex]P_c=\frac{81\sqrt{3}+27\sqrt{127} }{4}[/tex]
c) [tex]V=96\sqrt{3}[/tex]
a) Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Wysokości tego trójkąta dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
2/3 tej wysokości wykorzystamy do obliczenia wysokości ostrosłupa.
DANE:
[tex]a=6\\b=10[/tex]
SZUKANE:
[tex]h,H,P_p,V[/tex]
- Rysujemy bryłę i potrzebne trójkąty (patrz załącznik)
- Obliczamy wysokość h podstawy ze wzoru
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{6\sqrt{3} }{2}[/tex] - Obliczamy potrzebny kawałek wysokości
[tex]|AD|=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3} }{2}=2\sqrt{3}[/tex] - Obliczamy wysokość bryły H z Pitagorasa w trójkącie SAD
[tex](2\sqrt{3})^2+H^2=10^2\\ H^2=100-12=88\\H=\sqrt{88}=2\sqrt{22}[/tex] - Obliczamy pole podstawy ABC ze wzoru na trójkąt równoboczny
[tex]P_p=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}=\frac{36\sqrt{3} }{4}=9\sqrt{3}[/tex] - Obliczamy objętość ostrosłupa ze wzoru
[tex]V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H =\\\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot2\sqrt{22} =6\sqrt{66}[/tex]
b) Aby obliczyć pole powierzchni (całkowitej) ostrosłupa będziemy potrzebować pól ścian bocznych. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a po bokach również trójkąty (niekoniecznie równoboczne). Do pola dowolnego trójkąta jest potrzebna wysokość, a więc szukamy wysokości ściany bocznej. W tym przykładzie również wykorzystamy podział wysokości podstawy, ale tym razem 1/3 wysokości.
DANE:
[tex]a=9\\H=5[/tex]
SZUKANE:
[tex]h,h_s,P_b,P_c[/tex]
- Rysujemy ostrosłup i potrzebne trójkąty (patrz załącznik)
- Obliczamy wysokość h podstawy ze wzoru
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{9\sqrt{2} }{2}[/tex] - Obliczamy 1/3 wysokości
[tex]|DE|=\frac{1}{3}h=\frac{3\sqrt{3} }{2}[/tex] - Obliczamy wysokość ściany bocznej [tex]h_s[/tex] z Pitagorasa w trójkącie DES
[tex]h_s^2=5^2+(\frac{3\sqrt{3} }{2} )^2\\h_s^2=25+\frac{27}{4}=\frac{127}{4} \\h_s=\frac{\sqrt{127} }{2}[/tex] - Obliczamy pole boczne (3 jednakowe ściany- trójkąty)
[tex]P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot9\cdot\frac{\sqrt{127} }{2}=\frac{27\sqrt{127} }{4}[/tex] - Obliczamy pole całkowite (pole boczne + pole podstawy)
[tex]P_c=P_p+P_b=\frac{9^2\sqrt{3} }{4}+\frac{27\sqrt{127} }{4}= \frac{81\sqrt{3}+27\sqrt{127} }{4}[/tex]
c) Spadek wysokości i jego odległość od wierzchołka o której mowa w zadaniu to jest właśnie 2/3 wysokości podstawy. Do obliczenia objętości potrzebujemy pola podstawy, a wiec boku a.
DANE:
[tex]H=8\\\frac{2}{3}h=4\sqrt{3}[/tex]
SZUKANE:
[tex]a,V[/tex]
- Rysujemy ostrosłup
- Obliczamy wysokość h podstawy
[tex]\frac{2}{3}h=4\sqrt{3}\\ h=6\sqrt{3}[/tex] - Obliczamy bok podstawy a ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2} =6\sqrt{3}\\a\sqrt{3}=12\sqrt{3} \\a=12[/tex] - Obliczamy pole podstawy bryły
[tex]P_p=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}=\frac{144\sqrt{3} }{4}[/tex] - Obliczamy objętość ostrosłupa
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{144\sqrt{3} }{4}\cdot8=96\sqrt{3}[/tex]
