Rozwiązanie:
Wielomian:
[tex]W(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c[/tex]
Z zadania:
[tex]1+a+b+c=0[/tex]
Stąd wynika, iż:
[tex]W(1)=0[/tex]
czyli liczba [tex]1[/tex] jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Ponadto wiadomo, że pierwiastki tego wielomianu muszą tworzyć ciąg arytmetyczny, w którym [tex]r=3[/tex]. Zatem przypadki są następujące:
[tex](1, 4, 7)\\(-2,1,4)\\(-5,-2,1)[/tex]
Teraz wystarczy zapisać postacie iloczynowe rozważanego wielomianu dla każdego z przypadków:
[tex]1. \ (1,4,7)[/tex] :
[tex]W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)=x^{3}-12x^{2}+39x-28[/tex]
Wtedy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a=-12\\b=39\\c=-28\end{array}\right[/tex]
[tex]2. \ (-2,1,4)[/tex]
[tex]W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)=x^{3}-3x^{2}-6x+8[/tex]
Wtedy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a=-3\\b=-6\\c=8\end{array}\right[/tex]
[tex]3. \ (-5,-2,1)[/tex]
[tex]W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)=x^{3}+6x^{2}+3x-10[/tex]
Wtedy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a=6\\b=3\\c=-10\end{array}\right[/tex]
