Odpowiedź:
C. 144
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a_n-\text{c. geometryczny}\\\\q-\text{iloraz ciagu}\\\\a_1-\text{pierwszy wyraz ciagu}\\\\a_n=a_1q^{n-1}-\text{wzor na wyraz ogolny ciagu geometrycznego}\ (n\in\mathbb{N}^+)[/tex]
-------------------------------------------------------------------------------------------
Tyle z oznaczeń.
W treści zadania mamy:
[tex]a_6=12\\\\a_6=a_1q^{6-1}=a_1q^5[/tex]
Szukamy:
[tex]a_4\cdot a_8=?\\\\a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3\\\\a_8=a_1q^{8-1}=a_1q^7\\\\a_4\cdot a_8=a_1q^3\cdot a_1q^7=a_1^2q^{3+7}=a_1^2q^{10}=a_1^2q^{5\cdot2}=a_1^2\left(q^5\right)^2=\left(a_1q^5\right)^2[/tex]
Czyli
[tex]a_4\cdot a_8=a_6^2[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a_6^2=12^2=144[/tex]
[tex]a_4\cdot a_8=144[/tex]
========================================================
Inaczej.
Z poprzednich oznaczeń i rozwinięć mamy:
[tex]a_4=a_1q^3\\\\a_6=a_1q^5\\\\a_8=a_1q^7[/tex]
Możemy zauważyć, że:
[tex]a_4=a_1q^3\\\\a_6=a_1q^5=a_1q^{3+2}=a_1q^3q^2=a_4q^2\\\\a_8=a_1q^7=a_1q^{5+2}=a_1q^5q^2=a_6q^2[/tex]
Czyli mamy trzy wyrazy nowego ciągu geometrycznego (bₙ), w którym:
[tex]b_1=a_4\\b_2=a_6\\b_3=a_8[/tex]
A iloraz wynosi [tex]q^2[/tex].
Z twierdzenia wiemy, że jeżeli a, b i c tworzą ciąg geometryczny, to
a · c = b²
Stąd:
[tex]b_1\cdot b_3=b_2^2[/tex]
Czyli
[tex]a_4\cdot a_8=a_6^2[/tex]
Podstawiamy [tex]a_6=12[/tex]
[tex]a_4\cdot a_8=12^2=144[/tex]
