Rozwiązanie:
Do obliczenia objętości możemy wykorzystać całkę podwójną. Najpierw musimy określić obszar całkowania [tex]D[/tex] na płaszczyźnie. Sytuacja jest dość prosta, z góry mamy ograniczenie bryły przez paraboloidę, a z dołu przez stożek. Rozwiązujemy układ równań:
[tex]$\left \{ {{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \atop {z=12-x^{2}-y^{2}}} \right.[/tex]
[tex]$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=12-(x^{2}+y^{2})[/tex]
[tex](x^{2}+y^{2})+\sqrt{x^{2}+y^{2}}-12=0[/tex]
Podstawmy [tex]t=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex], gdzie [tex]t\geq 0[/tex] :
[tex]t^{2}+t-12=0[/tex]
[tex](t+4)(t-3)=0 \iff t =3[/tex]
Tak więc:
[tex]\sqrt{x^{2}+y^{2}}=3\iff x^{2}+y^{2}=9[/tex]
Zatem:
[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 9\}[/tex]
Obszarem całkowania jest koło, zatem wprowadźmy współrzędne biegunowe:
[tex]$\left \{ {{x=r\cos \varphi} \atop {y=r\sin\varphi}} \right.[/tex]
[tex]J(r,\varphi)=r[/tex]
gdzie:
[tex]0\leq r\leq 3[/tex]
[tex]0\leq \varphi \leq 2\pi[/tex]
Objętość bryły jest równa:
[tex]$|V|=\iint\limits^{}_{D} \Big(12-x^{2}-y^{2}-\sqrt{x^{2}-y^{2}} \Big) \ dxdy=\int\limits^{3}_{0}\Bigg(\int\limits^{2\pi}_{0}\Big(12-r^{2}-r\Big)r \ d\varphi\Bigg) dr=[/tex]
[tex]$=2\pi\int\limits^{3}_{0} \Big(-r^{3}-r^{2}+12r\Big)dr=2\pi \cdot \Big(-\frac{r^{4}}{4}-\frac{r^{3}}{3}+6r^{2}\Big)\Bigg|^{3}_{0}=\frac{99}{2}\pi[/tex]
