Odpowiedź:
Korzystamy ze wzorów:
- [tex]P_{b}=\pi rl[/tex] , gdzie r - promień podstawy , l - długość tworzącej stożek
- [tex]P_{p}=\pi r^{2}[/tex] , gdzie r - promień podstawy
Informacje z treści zadania:
- [tex]P_{b}=2\cdot P_{p}[/tex]
Wykażemy że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym.
[tex]P_{b}=2\cdot P_{p} ~~\land~~P_{b}=\pi rl~~\land~~P_{p}=\pi r^{2} \\\\\pi rl=2\pi r^{2} ~~\mid \div \pi \\\\ rl=2 r^{2} ~~\mid \div r\\\\l=2r~~\mid \div r\\\\\dfrac{l}{r} =2\\\\\dfrac{l}{r} =\dfrac{2}{1} ~~\Leftrightarrow~~\huge\boxed{\dfrac{r}{l} =\dfrac{1}{2}}\\\\\\cos\beta =\dfrac{r}{l} ~~\land ~~\dfrac{r}{l} =\dfrac{1}{2}~~\Rightarrow~~cos\beta =\dfrac{1}{2} ~~\Rightarrow~~\huge\boxed{\beta =60^{0} }[/tex]
- suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180°
[tex]\mid \measuredangle CAB \mid = \beta \\\\\mid \measuredangle ABC \mid = \beta \\\\\mid \measuredangle BCA \mid = \alpha \\\\\mid \measuredangle CAB \mid +\mid \measuredangle ABC \mid + \mid \measuredangle BCA \mid =180^{0} \\\\\beta +\beta +\alpha =180^{0}~~\land~~\beta =60^{0}\\\\60^{0}+60^{0}+\alpha =180^{0}\\\\120^{0}+\alpha =180^{0}~~\mid -120^{0}\\\\\huge\boxed{\alpha =60^{0}}[/tex]
- trójkąt równoboczny to taki trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość.
- kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego są równe 60°.
[tex]\mid \measuredangle CAB \mid = \beta ~~\land~~\mid \measuredangle ABC \mid = \beta ~~\land~~\mid \measuredangle BCA \mid = \alpha\\\\\beta =60^{0}~~\land~~\alpha =60^{0}\\\\\huge\boxed{\mid \measuredangle CAB \mid = \mid \measuredangle ABC \mid =\mid \measuredangle BCA \mid = 60^{0}}~~~~~~cbdu\\\\\boxed{\mid AB \mid = \mid BC \mid =\mid CA \mid}\\\\\Delta ABC~~to~~trojkat~~rownoboczny[/tex]
Wykazane zostało, że ΔABC jest trójkątem równobocznym ⇒ przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym.
