Środkowa trójkąta
Odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Środek odcinka
Środek odcinka o końcach w punktach A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂) wyznacza się ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{S(x_s, y_s)=(\frac{x_1+x_2}2; \frac{y_1+y_2}2)}[/tex]
a)
1. Środkowa łącząca wierzchołek A ze środkiem odcinka BC:
- wyznaczamy środek S₁ odcinka BC
[tex]S_1=(\frac{4+2}2; \frac{-1+7}2)\\S_1=(\frac62; \frac62)\\S_1=(3; 3)[/tex] - wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i S₁
[tex]\left \{ {{3=-2a+b /*(-1)} \atop {3=3a+b}} \right. \\+\left \{ {{-3=2a-b} \atop {3=3a+b}} \right. \\-3+3=2a+3a\\0=5a /:5\\a=0\\3=b\\\\\boxed{k: y=3}[/tex]
2. Środkowa łącząca wierzchołek B ze środkiem odcinka AC:
- wyznaczamy środek S₂ odcinka AC
[tex]S_2=(\frac{-2+2}2; \frac{3+7}2)\\S_2=(\frac02; \frac{10}2)\\S_2=(0; 5)[/tex] - wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i S₂
[tex]\left \{ {{-1=4a+b} \atop {5=0a+b}} \right. \\\left \{ {{-1=4a+b} \atop {b=5}} \right. \\-1=4a+5\\-1-5=4a\\-6=4a /:4\\-\frac32=a\\\\\boxed{l: y=-\frac32x+5}[/tex]
3. Środkowa łącząca wierzchołek C ze środkiem odcinka AB:
- wyznaczamy środek S₃ odcinka AB
[tex]S_3=(\frac{-2+4}2; \frac{3-1}2)\\S_3=(\frac22; \frac22)\\S_3=(1; 1)[/tex] - wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty C i S₃[tex]\left \{ {{7=2a+b} \atop {1=a+b /*(-1)}} \right. \\+\left \{ {{7=2a+b} \atop {-1=-a-b}} \right. \\7-1=2a-a\\6=a\\\\-1=-6-b\\5=-b\\b=-5\\\\\boxed{m: y=6x-5}[/tex]
b)
1. Środkowa łącząca wierzchołek A ze środkiem odcinka BC:
- wyznaczamy środek S₁ odcinka BC
[tex]S_1=(\frac{5-1}2; \frac{-1+5}2)\\S_1=(\frac42; \frac42)\\S_1=(2; 2)[/tex] - wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i S₁
[tex]\left \{ {{-3=-5a+b /*(-1)} \atop {2=2a+b}} \right. \\+\left \{ {{3=5a-b} \atop {2=2a+b}} \right. \\3+2=5a+2a\\5=7a /:7\\\frac57=a\\2=2*\frac57+b\\2=\frac{10}7+b\\\frac{14}7-\frac{10}7=b\\b=\frac47\\\\\boxed{k: y=\frac57x+\frac47}[/tex]
2. Środkowa łącząca wierzchołek B ze środkiem odcinka AC:
- wyznaczamy środek S₂ odcinka AC
[tex]S_2=(\frac{-5-1}2; \frac{-3+5}2)\\S_2=(\frac{-6}2; \frac22)\\S_2=(-3; 1)[/tex] - wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i S₂
[tex]\left \{ {{-1=5a+b} \atop {1=-3a+b /*(-1)}} \right. \\+\left \{ {{-1=5a+b} \atop {-1=3a-b}} \right. \\-1-1=5a+3a\\-2=8a /:8\\-\frac28=a\\a=-\frac14\\-1=5*(-\frac14)+b\\-1=-\frac54+b\\-\frac44+\frac54=b\\b=\frac14\\\\\boxed{l: y=-\frac14x+\frac14}[/tex]
3. Środkowa łącząca wierzchołek C ze środkiem odcinka AB:
- wyznaczamy środek S₃ odcinka AB
[tex]S_3=(\frac{-5+5}2; \frac{-3-1}2)\\S_3=(\frac02; \frac{-4}2)\\S_3=(0; -2)[/tex] - wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty C i S₃
[tex]\left \{ {{5=-a+b} \atop {-2=0a+b}} \right. \\\left \{ {{5=-a+b} \atop {-2=b}} \right. \\5=-a-2\\7=-a\\a=-7\\\boxed{m: y=-7x-2}[/tex]
