Z talii 52 kart wyciągamy równoczesnie 10 kart. Znajdz prawdopodobienstwo, ze wylosujemy dokladnie 2 piki, 3 kara i jednego asa.

1. Rachunek prawdopodobieństwa pozwala nam obliczyć szansę na wystąpienie danego zdarzenia. Mówimy, że prawdopodobieństwo na zajście zdarzenia sprzyjającego A można wyrazić za pomocą ilorazu liczby zdarzeń sprzyjających i liczby wszystkich możliwych zdarzeń, co zapisuje się następująco:

[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}[/tex], przy czym:

[tex]|A|[/tex] - liczba zdarzeń sprzyjających
[tex]|\Omega|[/tex] - liczba wszystkich możliwych zdarzeń

2. Podczas losowania dziesięciu z 52 kart jesteśmy w stanie uzyskać wiele różnych kombinacji. W celu określenia ich liczb zastosujemy symbol Newtona, który służy do określenia liczy k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego. Dzięki temu możemy wyliczyć k-elementową kombinację zbioru bez powtórzeń:

[tex]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]

3. Losujemy 10 kart z 52 kart, zatem możemy to zrobić na tyle sposobów:

[tex]|\Omega|=\binom{52}{10}=\frac{52!}{10!(52-10)!} =\frac{42!\cdot43\cdot44\cdot45\cdot46\cdot47\cdot48\cdot49\cdot50\cdot51\ctod52}{10!\cdot42!} =\frac{43\cdot44\cdot45\cdot46\cdot47\cdot48\cdot49\cdot50\cdot51\cdot52}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10} =\\\\=15820024220[/tex]

4. Sprawdźmy, na ile sposobów możemy wylosować pożądane karty:

wylosowanie 2 z 13 dostępnych pików może odbyć się na:
[tex]\binom{13}{2}=\frac{13!}{2!(13-2)!} =\frac{13!}{2!\cdot11!} =\frac{11!\cdot12\cdot13}{2\cdot11!} =\frac{12\cdot13}{2} =78[/tex] sposobów
wylosowanie 3 z 13 dostępnych kar może odbyć się na:
[tex]\binom{13}{3}=\frac{13!}{3!(13-3)!} =\frac{13!}{3!\cdot10!} =\frac{10!\cdot11\cdot12\cdot13}{2\cdot3\cdot10!} =\frac{11\cdot12\cdot13}{6} =286[/tex] sposobów

wylosowanie 1 z 4 dostępnych asów może odbyć się na:
[tex]\binom{4}{1}=\frac{4!}{1!(4-1)!} =\frac{4!}{1\cdot3!} =\frac{3!\cdot4}{3!} =4[/tex] sposoby

5. Wyciągamy równocześnie 10 kart, zatem oprócz pożądanych sześciu, które zostały dokładnie określone, losujemy jeszcze:

10-(2+3+1)=10-6=4 karty

Karty te nie mogą być ani pikami, ani karami, ani asami. Stąd 4 karty losujemy z:

52-(13+13+4)=52-30=22 kart

Losowanie 4 dowolnych z 22 kart, które nie są pikami, karami i asami może odbyć się na:

[tex]\binom{22}{4}=\frac{22!}{4!(22-4)!} =\frac{22!}{4!\cdot18!} =\frac{18!\cdot19\cdot20\cdot21\cdot22}{2\cdot3\cdot4\cdot18!} =\frac{19\cdot20\cdot21\cdot22}{2\cdot3\cdot4}=7315[/tex] sposobów

6. Zdarzenie sprzyjające A polegające na tym, że wylosowano dokładnie 2 piki, 3 kara i jednego asa zajdzie przy jednoczesnym wystąpieniu wszystkich powyższych zdarzeń, zatem korzystając z reguły mnożenia, pełniącej rolę spójnika "i", otrzymujemy liczbę zdarzeń sprzyjających:

[tex]|A|=\binom{13}{2}\cdot\binom{13}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{22}{4}=78\cdot286\cdot4\cdot7315=652732080[/tex]

7. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch pików, 3 kar i jednego asa wynosi:

[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{652732080}{15820024220}=\frac{32604}{790211}[/tex]