Odpowiedź:
P(x) = x²(3x - 4)(3x + 4)
R(x) = (2x - 3)(4x² - 6x + 9)
S(x) = (x² + 4)(x+2)(x² - 2x + 4)
T(x) = (5x - 3)(x - √2)(x + √2)
M(x) = (x + 3)(x² + x + 3)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wzory skróconego mnożenia, których użyjemy w rozwiązaniu tego zadania:
a² - b² = (a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Użyjemy również prawa działań rozdzielności mnożenie względem dodawania/odejmowania:
a(b ± c) = ab ± ac
P(x) = 9x⁴ - 16x²
P(x) = x²(9x² - 16)
P(x) = x²[(3x)² - 4²]
P(x) = x²(3x - 4)(3x + 4)
R(x) = 8x³ - 27
R(x) = (2x)³ - 3³
R(x) = (2x - 3)[(2x)² + 2x · 3 + 3²]
R(x) = (2x - 3)(4x² - 6x + 9)
S(x) = x⁵ + 4x³ + 8x² + 32
S(x) = x³(x² + 4) + 8(x² + 4)
S(x) = (x² + 4)(x³ + 8)
S(x) = (x² + 4)(x³ + 2³)
S(x) = (x² + 4)(x + 2)(x² - x · 2 + 2²)
S(x) = (x² + 4)(x+2)(x² - 2x + 4)
T(x) = 5x³ - 3x² - 10x + 6
T(x) = x²(5x - 3) - 2(5x - 3)
T(x) = (5x - 3)(x² - 2)
T(x) = (5x - 3)[x² - (√2)²]
T(x) = (5x - 3)(x - √2)(x + √2)
M(x) = x³ + 4x² + 6x + 9
Szukamy pierwiastka całkowitego wielomianu biorąc dzielniki wyrazu wolnego:
{±1, ±3, ±9}
sprawdźmy x = -3:
M(-3) = (-3)³ + 4 · (-3)² + 6 · (-3) + 9 = -27 + 36 - 18 + 9 = 0
Na podstawie twierdzenia Bézouta, jeżeli liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu M(x), to wielomian M(x) jest podzielny przez dwumian (x + 3).
Skorzystamy ze schematu Hornera (załącznik).
Czyli
M(x) = (x + 3)(x² + x + 3)
Sprawdzamy rozkładalność trójmianu kwadratowego z drugiego nawiasu obliczając wyróżnik trójmianu (Δ)
x² + x + 3
a = 1, b = 1, c = 3
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4 · 1 · 3 = 1 - 12 = -11 < 0
WNIOSEK:
Trójmian nie jest rozkładalny. Czyli postać M(x) = (x + 3)(x² + x + 3) jest ostateczną postacią.
M(x) = (x + 3)(x² + x + 3)
