Wykres funkcji homograficznej o wzorze f(x) = [tex]\frac{2x+2}{x-1}[/tex] otrzymamy w wyniku przesunięcia równoległego wykresu proporcjonalności odwrotnej y=[tex]\frac{a}{x}[/tex] o pewien wektor.

a) Wyznacz a oraz współrzędne przesunięcia wektora
b) Oblicz miejsce zerowe funkcji oraz współrzędne punktu w których wykres przecina oś OY
c) narysuj wykres funkcji
d) Wyznacz zbiór tych argumentów dla których funkcja f(x) przyjmuje wartości nie mniejsze niż funkcja g(x)= [tex]\frac{x+5}{x-1}[/tex]
Pomoże ktoś, wytłumaczy?

Zawsze korzystniej jest mieć postać kanoniczną funkcji homograficznej, bo z niej widzimy ważne dla nas własności, czyli asymptoty i współczynnik proporcjonalności odwrotnej (a tym samym wektor przesunięcia).

Ogólnie:

[tex]$f(x)=\frac{a}{x-p} +q[/tex]

Aby taką postać uzyksać najczęściej wystarczy wstawić w miejsce [tex]x[/tex] w liczniku wyrażenie z mianownika (zachowując sens) i uprościć:

[tex]$f(x)=\frac{2x+2}{x-1} =\frac{2(x-1)+4}{x-1} =\frac{4}{x-1} +2[/tex]

Z takiej postaci od razu mamy odpowiedź do podpunktu [tex]\bold{(a)}[/tex] zadania:

[tex]W=[p,q]=[1,2]\\a=4[/tex]

Kolejne podpunkty:

[tex]$\bold{(b)}[/tex]

Miejsce zerowe:

[tex]$f(x)=0 \iff \frac{4}{x-1} +2=0[/tex]

[tex]$\frac{4}{x-1} =-2[/tex]

[tex]$4=-2(x-1)=-2x+2[/tex]

[tex]-2x=2 \iff x = -1[/tex]

[tex]M_{z}=(-1,0)[/tex]

Punkt przecięcia z osią [tex]OY[/tex] :

[tex]$f(0)=\frac{4}{0-1}+2=-4+2=-2[/tex]

[tex]P=(0,-2)[/tex]

[tex]\bold{(c)}[/tex]

Wykres funkcji w załączniku.

[tex]\bold{(d)}[/tex]

Tutaj wystarczy, że rozwiążemy nierówność [tex]f(x)\geq g(x)[/tex] :

[tex]$\frac{2x+2}{x-1} \geq \frac{x+5}{x-1}[/tex]

[tex](2x+2)(x-1)\geq (x+5)(x-1)[/tex]

[tex]$(2x+2)(x-1)-(x+5)(x-1)\geq 0[/tex]

[tex](x-1)(2x+2-(x+5))\geq 0[/tex]

[tex](x-1)(x-3)\geq 0[/tex]

[tex]x \in (-\infty,-1 \rangle \cup \langle 3, \infty)[/tex]