Odpowiedź :
Równania kwadratowe
a) Aby iloczyn kilku nawiasów był równy zero, wartość co najmniej jednego z nawiasów musi być równa zero. Sprawdzamy zatem, dla jakich [tex]x[/tex] wartości wyrażenie z każdego z nawiasów będzie się zerowało. Mamy zatem:
[tex]x^{2} -9=0\quad \vee \quad x-7=0\quad\vee\quad x^{2} -17x+16=0[/tex]
Z pierwszego równania dostajemy:
[tex]x^{2} =9[/tex]
Pierwiastkując obustronnie mamy:
[tex]x=3\quad\vee \quad x=-3[/tex]
Z drugiego równania dostajemy:
[tex]x=7[/tex]
Aby obliczyć dla jakich wartości [tex]x[/tex] zeruje się trzecie równanie, musimy obliczyć miejsca zerowe danej funkcji kwadratowej:
[tex]\Delta = b^2-4ac[/tex]
[tex]a=1,b=-17,c=16[/tex]
[tex]\Delta=17^2-4\cdot 1\cdot 16=289-64=225[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} =\sqrt{225} =15[/tex]
Zatem miejsca zerowe to:
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
[tex]x_1=\frac{17-15}{2} =\frac{2}{2}=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{17+15}{2} =\frac{32}{2} =16[/tex]
Ostatecznie rozwiązaniem równania [tex](x^2-9)(x-7)(x^2-17x + 16)=0[/tex] są:
[tex]x_1=-3,\quad x_2=3,\quad x_3=7,\quad x_4=1,\quad x_5=16[/tex]
b) W tym podpunkcie skorzystamy z metody grupowania. Z [tex]3x^3+3x^2[/tex] możemy wyciągnąć przed nawias: [tex]3x^2[/tex], dostaniemy wówczas:
[tex]3x^3+3x^2=3x^2(x+1)[/tex]
Natomiast z [tex]9x+9[/tex] możemy wyciągnąć przed nawias [tex]9[/tex], dostaniemy wówczas:
[tex]9x+9=9(x+1)[/tex]
Możemy zatem wyjściowe równanie zapisac jako:
[tex]3x^3+3x^2+9x+9=3x^2(x+1)+9(x+1)[/tex]
Teraz dodając do siebie w jednym nawiasie wyrażenia stojące przed nawiasami, a w drugim zostawiajac wartość [tex](x+1)[/tex], otrzymamy:
[tex]3x^3+3x^2+9x+9=(3x^2+9)(x+1)[/tex]
Zatem dostajemy do rozwiązania równanie:
[tex](3x^2+9)(x+1)=0[/tex]
Ponownie korzystamy z tego, że aby iloczyn kilku nawiasów był równy zero, wartość co najmniej jednego z nawiasów musi być równa zero. Sprawdzamy zatem, dla jakich [tex]x[/tex] wartości wyrażenie z każdego z nawiasów będzie się zerowało. Mamy zatem:
[tex]3x^2+9=0\quad\vee\quad x+1=0[/tex]
Wartość [tex]3x^2+9[/tex] nigdy nie będzie zerem, ponieważ [tex]x^2[/tex] jest zawsze liczbą większą lub równą zero, po pomnożeniu przez trzy, nadal pozostaje większą lub równą zero, a gdy dodamy do niej dziewięć, to napewno jest liczbą oddatnią. Sprawdzamy drugi nawias:
[tex]x+1=0[/tex]
Po przeniesieniu mamy:
[tex]x=-1[/tex]
Zatem jedynym rozwiązaniem tego równania jest:
[tex]x=-1[/tex]
c) W tym podpunkcie mamy równanie:
[tex]\frac{(x-2)(x+7)}{x^2-4}=0[/tex]
Wypiszmy założenia: wartosć mianownika nie może się zerować, zatem:
[tex]x^2-4\neq 0[/tex]
Po przeniesieniu:
[tex]x^2\neq4[/tex]
Czyli:
[tex]x\neq 2\quad \wedge \quad x\neq -2[/tex]
Zajmiemy się licznikiem, ponieważ aby wartość ułamka była równa zeru, to licznik musi się zerować. Korzystamy z tego, że aby iloczyn kilku nawiasów był równy zero, wartość co najmniej jednego z nawiasów musi być równa zero. Sprawdzamy zatem, dla jakich [tex]x[/tex] wartości wyrażenie z każdego z nawiasów będzie się zerowało. Mamy zatem:
[tex]x-2=0\quad \vee \quad x+7=0[/tex]
Po przeniesieniu liczb na druga stronę dostajemy:
[tex]x=2\quad\vee\quad x=-7[/tex]
Natomiast wcześniej ustaliliśmy, że [tex]x\neq 2[/tex], zatem jedynym rozwiązaniem równania jest:
[tex]x=-7[/tex]
d) Mamy równanie:
[tex]\frac{(x-3)}{(x+5)}=\frac{(x-2)}{x}[/tex]
W pierwszej kolejności przenosimy wyrażenia na jedną stronę:
[tex]\frac{(x-3)}{(x+5)}-\frac{(x-2)}{x}=0[/tex]
Sprowadzamy ułamki do współnego mianownika:
[tex]\frac{x\cdot(x-3)-(x+5)(x-2)}{x\codt(x+5)}=0[/tex]
Wypisujemy konieczne założenia dotyczące mianownika:
[tex]x\cdot (x+5)\neq0[/tex]
By iloczyn kilku nawiasów był równy zero, wartość co najmniej jednego z nawiasów musi być równa zero, czyli dostajemy:
[tex]x\neq 0\quad \wedge \quad x\neq -5[/tex]
Aby wartość ułamka była równa zeru, to licznik musi się zerować:
[tex]x(x-3)-(x+5)(x-2)=0[/tex]
Wymnażamy nawiasy:
[tex]x^2-3x-(x^2-2x+5x-10)=0[/tex]
[tex]x^2-3x-x^2-3x+10=0[/tex]
[tex]-6x+10=0[/tex]
Po przeniesieniu liczby na drugą stronę dostajemy:
[tex]-6x=-10[/tex]
dzielimy obustronnie przez [tex]-6[/tex]:
[tex]x=\frac{-10}{-6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}[/tex]
Zatem rozwiązaniem tego równania jest:
[tex]x=\frac{5}{3}[/tex]