Zadanie 5.65.
c)
[tex]mx-5m+5n=nx\\mx-nx=5m-5n\\(m-n)x=5(m-n)[/tex]
Przypadek 1.
Współczynnik przy x jest różny od 0. Wówczas równanie ma 1 rozwiązanie.
[tex]m-n\neq 0\\m\neq n\\(m-n)x=5(m-n)\ |:(m-n)\\x=5[/tex]
Przypadek 2.
Współczynnik przy x jest równy 0.
[tex]m-n=0\\m=n\\0*x=5*0\\0=0[/tex]
równanie tożsamościowe, nieskończenie wiele rozwiązań
Ostatecznie:
Dla [tex]m\neq n[/tex] równanie ma 1 rozwiązanie równe 5, a dla [tex]m=n[/tex] równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zadanie 5.66.
c)
[tex]x+\frac{x}{a}=b[/tex]
Założenie:
[tex]a\neq 0[/tex]
Teraz
[tex]x+\frac{x}{a}=b\ |*a\\ax+x=ab\\(a+1)x=ab[/tex]
Przypadek 1.
Współczynnik przy x jest różny od 0. Wówczas równanie ma 1 rozwiązanie.
[tex]a+1\neq 0\\a\neq -1\\(a+1)x=ab\ |:(a+1)\\x=\frac{ab}{a+1}[/tex]
Przypadek 2.
Współczynnik przy x jest równy 0.
[tex]a+1=0\\a=-1\\0*x=-1*b\\0=-b[/tex]
Jeśli [tex]b=0[/tex] mamy [tex]0=0[/tex], czyli równanie tożsamościowe z nieskończoną liczbą rozwiązań. Jeśli [tex]b\neq 0[/tex] mamy równanie sprzeczne z brakiem rozwiązań.
Ostatecznie:
- dla [tex]a\neq 0[/tex] i [tex]a\neq -1[/tex] jest 1 rozwiązanie postaci [tex]x=\frac{ab}{a+1}[/tex],
- dla [tex]a=-1[/tex] i [tex]b=0[/tex] jest nieskończenie wiele rozwiązań,
- dla [tex]a=-1[/tex] i [tex]b\neq 0[/tex] jest brak rozwiązań.
