Funkcje trygonometryczne kąta ostrego.
a) [tex]\huge\boxed{x=2\sqrt5}[/tex]
b)[tex]\huge\boxed{\sin\alpha=\cos\beta=\dfrac{\sqrt5}{3}}\\\\\boxed{\cos\alpha=\sin\beta=\dfrac{2}{3}}\\\\\boxed{\text{tg}\alpha=\text{ctg}\beta=\dfrac{\sqrt5}{2}}\\\\\boxed{\text{ctg}\alpha=\text{tg}\beta=\dfrac{2\sqrt5}{5}}[/tex]
c) [tex]\huge\boxed{\sin30^o=\dfrac{1}{2}}\\\boxed{\cos45^o=\dfrac{\sqrt2}{2}}\\\boxed{\text{tg}60^o=\sqrt3}\\\boxed{\text{ctg}30^o=\sqrt3}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
a)
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Korzystając z powyższego twierdzenia obliczamy długość przyprostokątnej x danego trójkąta prostokątnego:
[tex]x^2+4^2=6^2\\\\x^2+16=36\qquad|-16\\\\x^2=20\to x=\sqrt{20}\\\\x=\sqrt{4\cdot5}\\\\x=\sqrt4\cdot\sqrt5\\\\\huge\boxed{x=2\sqrt5}[/tex]
b)
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym są zamieszczone w załączniku.
[tex]\sin\alpha=\cos\beta=\dfrac{2\sqrt5}{6}=\boxed{\dfrac{\sqrt5}{3}}\\\\\cos\alpha=\sin\beta=\dfrac{4}{6}=\boxed{\dfrac{2}{3}}\\\\\text{tg}\alpha=\text{ctg}\beta=\dfrac{2\sqrt5}{4}=\boxed{\dfrac{\sqrt5}{2}}\\\\\text{ctg}\alpha=\text{tg}\beta=\dfrac{4}{2\sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\boxed{\dfrac{2\sqrt5}{5}}[/tex]
c)
Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45° i 60° możemy odczytać z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.
Tabela ta nie zawiera wartości funkcji cotangens. Dlatego aby podać wartość funkcji tangens należy skorzystać z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\text{ctg}\alpha=\dfrac{1}{\text{tg}\alpha}[/tex]
[tex]\sin30^o=\dfrac{1}{2}\\\\\cos45^o=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\text{tg}60^o=\sqrt3\\\\\text{tg}30^o=\dfrac{\sqrt3}{3}\to\text{ctg}30^o=\dfrac{1}{\frac{\sqrt3}{3}}=\dfrac{3}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3[/tex]
