Funkcje trygonometryczne.
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{4}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Mamy dane:
[tex]\text{tg}\alpha+\dfrac{1}{\text{tg}\alpha}=4\ \wedge\ \alpha\in(0^o,\ 90^o)[/tex].
Do obliczenia mamy wartość wyrażenia [tex]\sin\alpha\cos\alpha[/tex].
Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
[tex]\text{tg}\alpha+\dfrac{1}{\text{tg}\alpha}=\dfrac{\text{tg}^2\alpha}{\text{tg}\alpha}+\dfrac{1}{\text{tg}\alpha}=\dfrac{\text{tg}^2\alpha+1}{\text{tg}\alpha}=\dfrac{\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\dfrac{{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\\\\=\dfrac{{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}:\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}[/tex]
Czyli
[tex]\text{tg}\alpha+\dfrac{1}{\text{tg}\alpha}=4\Rightarrow\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=4[/tex]
Robimy odwrotność stron równania otrzymując ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{4}}[/tex]
