Odpowiedź :
Odpowiedź:
0
Szczegółowe wyjaśnienie:
Najpierw należy tak przekształcić, aby wykładniki były takie same, więc przy 4 zamieniłem n+1 na n, a później wszystkie elementy podzielić przez potęgę z najwyższą podstawą (tu 7^n).
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2^n-3*4^{n+1}}{5^n-7^n}= \lim_{n \to \infty} \frac{2^n-12*4^{n}}{5^n-7^n}= \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{7})^n-12*(\frac{4}{7})^n}{(\frac{5}{7})^n-1}=[\frac{0-12*0}{0-1}]=0[/tex]
Odpowiedź:
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{2^n-3\cdot \:4^{n+1}}{5^n-7^n}\right)[/tex]
dzielę licznik i mianownik przez: [tex]7^n[/tex]
czyli mnożę przez jedynkę w postaci: [tex]\cfrac{\frac{1}{7^n}}{\frac{1}{7^n}}[/tex]
[tex]=\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{\left(\frac{2}{7}\right)^n-\frac{3\cdot \:4^{n+1}}{7^n}}{\left(\frac{5}{7}\right)^n-1}\right)=\frac{\lim _{n\to \infty \:}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^n-\frac{3\cdot \:4^{n+1}}{7^n}\right)}{\lim _{n\to \infty \:}\left(\left(\frac{5}{7}\right)^n-1\right)}=\frac{0}{-1}=0[/tex]
w liczniku może nie widać wprost tej granicy wiec ją rozpiszę:
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{3\cdot \:4^{n+1}}{7^n}\right)=3\cdot \lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4^{n+1}}{7^n}\right)=3\cdot \lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4^n\cdot \:4}{7^n}\right)=3\cdot \:4\cdot \lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4^n}{7^n}\right)=3\cdot \:4\cdot \lim _{n\to \infty \:}\left(\left(\frac{4}{7}\right)^n\right)=3\cdot \:4\cdot \:0=0[/tex]