Odpowiedź:
a)
[tex]\cos \left(2x\right)+5\sin \left(x\right)+2=0[/tex]
z własności funkcji cosinus podwojonego kąta:
[tex]\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha[/tex]
wstawiam to w równanie:
[tex]3-2\sin ^2\left(x\right)+5\sin \left(x\right)=0[/tex]
Mamy tutaj równanie kwadratowe. Liczymy normalnie wyróznik kwadratowe i miejsca zerowe. W celu przejrzystego zobrazowania przyjmę:
[tex]x_p=\sin x[/tex]
[tex]-2x_p^2+5x_p+3=0[/tex]
[tex]x_p_{1,\:2}=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\left(-2\right)\cdot \:3}}{2\left(-2\right)}[/tex]
[tex]x_p=-\frac{1}{2},\:x_p=3[/tex]
zatem rozwiązujemy dwa przypadki:
[tex]\sin \left(x\right)=-\frac{1}{2},\:\sin \left(x\right)=3[/tex]
dla [tex]\sin x = 3[/tex] jest łatwo. Bo to nie ma rozwiązań. Zbiór wartości sinusa zawiera się od minus jeden do 1. Dla żadnego 'x' nie będzie to równe 3.
Zatem zostaje nam rozwiązać pierwsze przypadek:
[tex]\sin \left(x\right)=-\frac{1}{2}[/tex]
będą dwa takie miejsca w których sinus przyjmuje wartość -1/2 i będą się powtarzać co [tex]2\pi[/tex]. Znajdźmy pierwsze takie miejsca dla dodatnich kątów.
Będzie to: [tex]\frac76\pi[/tex] oraz [tex]\frac{11}{6}\pi[/tex]
zatem zbiór wszystkich odpowiedzi to:
[tex]x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n,\:x=\frac{11\pi }{6}+2\pi n\:[/tex], gdzie n to dowolna liczba całkowita.
Jeśli w nawiasach to co napisałeś to ograniczenie na x. to wszystkimi odpowiedziami będą cztery x równe:
[tex]\boxed{\frac76\pi, \frac{11}{6}\pi, -\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6}}[/tex]
b)
możemy zastosować tutaj sztuczkę. I wykorzystać fakt, że:
dla
[tex]\cos \left(x\right)>a[/tex] jeśli [tex]-1\le \:a<1[/tex] wtedy
[tex]-\arccos \left(a\right)+2\pi n\\x<\arccos \left(a\right)+2\pi n[/tex]
Zatem rozwiązujemy dwie nierówności
1:
[tex]-\arccos \left(\frac{1}{2}\right)+2\pi n<\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}\\\boxed{x>4\pi n-\frac{\pi }{6}}[/tex]
2:
[tex]\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}<\arccos \left(\frac{1}{2}\right)+2\pi n\\\boxed{x<4\pi n+\frac{7\pi }{6}}[/tex]
łączymy obie odpowiedzi i wychodzi nam to co w załacnziku, bo brainly krzaczy odpowiedź:
