Skorzystajmy z elementarnych przekształceń wierszowych.
[tex]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & \\ 2 & -1 & 1 & \\ 5 & -1 & 3 \\7 & -2 & 4 &\end{matrix}\right| \left \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 5\end{matrix}\right]\begin{matrix} \\ w_2-2w_1 \\ w_3-5w_1 \\ w_4-7w_1\end{matrix}\longrightarrow \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & \\ 0 & -3 & -1 & \\ 0 & -6 & -2 \\0 & -9 & -3 &\end{matrix}\right| \left \begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 8 \\ 12\end{matrix}\right]\begin{matrix} \\ \\ w_3-2w_2 \\ w_4-3w_2\end{matrix}\longrightarrow[/tex]
[tex]\longrightarrow\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & \\ 0 & -3 & -1 & \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 &\end{matrix}\right| \left \begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right]\longrightarrow \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & \\ 0 & -3 & -1 & \\ \end{matrix}\right| \left \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix}\right][/tex]
Wróćmy do układu równań i wyraźmy zmienne x i z w zależności od zmiennej y.
[tex]$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=-1\\-3y-z=4\\\end{array} \right.$\longrightarrow$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=-1\\z=-3y-4\\\end{array} \right.$\longrightarrow$\left\{\begin{array}{l}x+y-3y-4=-1\\z=-3y-4\\\end{array} \right.$\longrightarrow[/tex][tex]\longrightarrow$\left\{\begin{array}{l}x=2y+3\\z=-3y-4\\\end{array} \right.$[/tex]
lub parametrycznie
[tex]$\left\{\begin{array}{l}x=2t+3\\y=t\\z=-3t-4\\\end{array} \right.$[/tex]
