Całka oznaczona.
Mamy obliczyć pole ograniczone krzywą y = 4x² - 1, a osią OX w przedziale ⟨2, 3⟩.
Aby obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą i osią OX, należy obliczyć całkę oznaczoną danej funkcji, na danym przedziale.
[tex]\int\limits_{2}^{3}\left(4x^2-1\right)dx[/tex]
Na początku zajmiemy się całką nieoznaczoną
[tex]\int(4x^2-1)dx[/tex]
skorzystamy ze worów:
[tex]\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\\\\\int(ax^n)dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+C\\\\\int adx=ax+C[/tex]
[tex]\int(4x^2-1)dx=\int4x^2dx-\int1dx=\dfrac{4}{3}x^3-1x=\dfrac{4}{3}x^3-x[/tex]
przechodzimy do całki oznaczonej
[tex]\int\limits_{2}^{3}(4x^2-1)dx=\left\dfrac{4}{3}x^3-x\right]^3_2=\left(\dfrac{4}{3}\cdot3^3-3\right)-\left(\dfrac{4}{3}\cdot2^3-2\right)=33-\dfrac{26}{3}\\\\=\dfrac{99}{3}-\dfrac{26}{3}=\dfrac{73}{3}=24\dfrac{1}{3}[/tex]
Odp: Pole obszaru pod daną krzywą wynosi 24 1/3.
