[tex]2x^4 - 8x^3 - 9x^2 - 4x - 5 = 0[/tex]
Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu mamy możliwe pierwiastki: {±1; ±2,5; ±5}
Dla 1 mamy: [tex]2\cdot1^4 - 8\cdot1^3 - 9\cdot1^2 - 4\cdot1 - 5 = -24\ne0[/tex]
Dla -1 mamy: [tex]2\cdot(-1)^4 - 8\cdot(-1)^3 - 9\cdot(-1)^2 - 4\cdot(-1) - 5 = 2+8-9+4-5=0[/tex]
Czyli -1 jest pierwiastkiem równania.
Dzielimy wielomian [tex]2x^4 - 8x^3 - 9x^2 - 4x - 5[/tex] przez dwumian [tex]x+1[/tex] korzystając ze schematu Hornera:
| 2 | -8 | -9 | -4 | -5
-1 | 2 |-10 | 1 |-5 | 0
Czyli:
[tex]2x^4 - 8x^3 - 9x^2 - 4x - 5=(x+1)(2x^3-10x^2+x-5)[/tex]
Ponownie z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, dla [tex]2x^3-10x^2+x-5[/tex] mamy możliwe pierwiastki: {±1; ±2,5; ±5}, czyli:
Dla 1 mamy: [tex]2\cdot1^3-10\cdot1^2+1-5=-1\ne0[/tex]
Dla -1 mamy: [tex]2\cdot(-1)^3-10\cdot(-1)^2-1-5=-2-10-6=-18\ne0[/tex]
Dla 5 mamy: [tex]2\cdot5^3-10\cdot5^2+5-5=250-250+5-5=0[/tex]
Czyli 5 jest pierwiastkiem wielomianu [tex]2x^3-10x^2+x-5[/tex].
Dzielimy wielomian [tex]2x^3-10x^2+x-5[/tex] przez dwumian [tex]x-5[/tex] korzystając ze schematu Hornera:
| 2 |-10 | 1 | -5
5 | 2 | 0 | 1 | 0
Zatem:
[tex]2x^4 - 8x^3 - 9x^2 - 4x - 5=(x+1)(x-5)(2x^2+1)[/tex]
Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 2x²+1 jest dodatnie (nie przyjmie nigdy wartości 0), czyli:
[tex]2x^4 - 8x^3 - 9x^2 - 4x - 5=0\\\\(x+1)(x-5)(2x^2+1)=0\quad\iff\quad \bold{\underline{x=-1\quad\vee\quad x=5}}[/tex]
