Liczba n jest postaci:
[tex]n=6k+5[/tex]
dla pewnej liczby naturalnej k. Liczymy kwadrat tej liczby:
[tex]n^2=(6k+5)^2=36k^2+60k+25=6\cdot(6k^2+10k+4)+\boxed{1}[/tex]
Liczba (6k² + 10k + 4) jest naturalna, zatem reszta z dzielenia liczby n² przez 6 jest równa 1.
Liczba naturalna n nie jest podzielna przez 3, więc:
[tex]n=3k+1\quad\text{lub}\quad n=3\ell+2[/tex]
dla pewnych liczb naturalnych k, l. Pierwszy przypadek:
[tex](3k+1)^2=9k^2+6k+1=3\cdot(3k^2+2k)+\boxed{1}[/tex]
Więc reszta jest równa 1. Drugi przypadek:
[tex](3\ell+2)^2=9\ell^2+12\ell+4=3\cdot(3\ell^2+4\ell+1)+\boxed{1}[/tex]
W tym wypadku również reszta jest równa 1.
Liczba n jest postaci:
[tex]n=5k+4[/tex]
dla pewnej liczby naturalnej k. Stąd:
[tex]n^2-1=(5k+4)^2-1=25k^2+40k+16-1=\\\\=25k^2+40k+15=5\cdot(5k^2+8k+3)[/tex]
Uzyskana liczba jest podzielna przez 5, ponieważ liczba (5k² + 8k + 3) jest naturalna.
