Monotoniczność ciągu.
Dany jest ciąg liczbowy:
[tex]a_n=\dfrac{2-3n}{n+2}[/tex]
Do zbadania mamy monotoniczność tego ciągu.
Ciąg aₙ jest rosnący, gdy aₙ₊₁ - aₙ > 0.
Ciąg aₙ jest malejący, gdy aₙ₊₁ - aₙ < 0.
Ciąg aₙ jest stały, gdy aₙ₊₁ - aₙ = 0.
Budujemy wyraz aₙ₊₁:
[tex]a_{n+1}=\dfrac{2-3(n+1)}{(n+1)+2}=\dfrac{2-3n-3}{n+3}=\dfrac{-3n-1}{n+3}[/tex]
Badamy znak różnicy aₙ₊₁ - aₙ:
[tex]a_{n+1}-a_n=\dfrac{-3n-1}{n+3}-\dfrac{2-3n}{n+2}=\dfrac{(-3n-1)(n+2)-(2-3n)(n+3)}{(n+3)(n+2)}\\\\=\dfrac{-3n^2-6n-n-2-2n-6+3n^2+9n}{(n+3)(n+2)}\\\\=\dfrac{-8}{{(n+3)(n+2)}}[/tex]
Jako, że n jest liczbą naturalną, to (n + 3)(n + 2) > 0.
Mamy iloraz liczby ujemnej i dodatniej, co daje nam wynik ujemny
[tex]a_{n+1}-a_n < 0[/tex]
Stąd wniosek:
Ciąg aₙ jest malejący.
