Rozwiązanie:
[tex]$\sum\limits^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+1} )[/tex]
Suma częściowa:
[tex]$\sum\limits^{k}_{n=1}(\frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+1} )=\frac{1}{3} -\frac{1}{2} +\frac{1}{4} -\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{4} +\frac{1}{6} -\frac{1}{5} +....+\frac{1}{k+2} -\frac{1}{k+1}=[/tex]
[tex]$=\frac{1}{k+2} -\frac{1}{2}=-\frac{k}{2k+4}[/tex]
Łatwo widać, że każdy kolejny ułamek poza [tex]$\frac{1}{2}[/tex] oraz [tex]$\frac{1}{k+2}[/tex] skraca się, dlatego taki rezultat.
Zbieżność:
Zauważmy, że:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+3} -\frac{1}{n+2} }{\frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+1} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+2-n+3}{(n+3)(n+2)} }{\frac{n+1-n-2}{(n+2)(n+1)} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{(n+3)(n+2)} }{\frac{-1}{(n+2)(n+1)} } =[/tex]
[tex]$= \lim_{n \to \infty} \frac{5n+5}{-n-3} =-5<1[/tex]
Na mocy kryterium d'Alemberta powyższy szereg jest zbieżny.
