Odpowiedź:
[tex]$m \in (-1,\frac{3}{5})[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]$2^{2x}+2^{2x-1}+2^{2x-2}+...=(3-m)2^{x}-2m^{2}[/tex]
Założenie:
[tex]m \in \mathbb{R}[/tex]
Prawa strona równania to oczywiście szereg geometryczny, w którym:
[tex]a_{1}=2^{2x}[/tex]
[tex]$q=\frac{1}{2}[/tex]
Mamy spełniony warunek [tex]|q|<1[/tex], więc możemy liczyć nieskończoną sumę szeregu geometrycznego:
[tex]$S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{2^{2x}}{1-\frac{1}{2} } =2^{2x+1}[/tex]
Zatem równanie wygląda tak:
[tex]2^{2x+1}=(3-m)2^{x}-2m^{2}[/tex]
[tex]2 \cdot 2^{2x}=(3-m)2^{x}-2m^{2}[/tex]
Podstawmy zmienną pomocniczą [tex]t=2^{x}[/tex], gdzie [tex]t>0[/tex]. Wtedy:
[tex]2t^{2}=(3-m)t-2m^{2}\\[/tex]
[tex]2t^{2}-(3-m)t+2m^{2}=0[/tex]
Równanie będzie miało dwa rozwiązania, gdy:
[tex]\Delta>0[/tex]
Mamy:
[tex]\Delta=(3-m)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2m^{2}=9-6m+m^{2}-16m^{2}=-15m^{2}-6m+9[/tex]
[tex]-15m^{2}-6m+9>0[/tex]
[tex]\Delta_{m}=36-4 \cdot (-15) \cdot 9=576[/tex]
[tex]$m_{1}=\frac{6-24}{-30} =\frac{3}{5}[/tex]
[tex]$m_{2}=\frac{6+24}{-30} =-1[/tex]
[tex]$m \in (-1,\frac{3}{5})[/tex]
