Policzmy pochodną funkcji f.
[tex]f'(x)=[-3(x+1)(x+3)^2]'=-3[(x+1)'*(x+3)^2+(x+1)*((x+3)^2)']=-3[(x+3)^2+(x+1)*2(x+3)]=-3[x^2+6x+9+2(x^2+3x+x+3)]=-3(x^2+6x+9+2x^2+6x+2x+6)=-3(3x^2+14x+15)[/tex]
Znajdźmy miejsca zerowe pochodnej.
[tex]-3(3x^2+14x+15)=0|:(-3)\\3x^2+14x+15=0\\\Delta=14^2-4*3*15=196-180=16\\\sqrt{\Delta}=4\\x_1=\frac{-14-4}{2*3}=\frac{-18}{6}=-3\\x_1=\frac{-14+4}{2*3}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3}[/tex]
Znaleziono wyżej miejsca zerowe są x-ami, w których osiągane mogą być ekstrema lokalne.
Na wykresie pomocniczym widać, że
[tex]f'(x)>0\text{ dla }x\in(-3,-1\frac{2}{3})\\f'(x)<0\text{ dla }x\in(-\infty,-3)\cup(-1\frac{2}{3},+\infty)[/tex]
Dlatego maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f to
[tex]f\nearrow\text{ dla }x\in<-3,-1\frac{2}{3}>\\f\searrow\text{ dla }x\in(-\infty,-3>\text{ oraz dla }x\in<-1\frac{2}{3},+\infty)[/tex]
Stąd wynika, że
a) f osiąga minimum lokalne dla [tex]x=-3[/tex] i minimum to wynosi
[tex]f(-3)=-3(-3+1)(-3+3)^2=-3*(-2)*0=0[/tex]
b) f osiąga maksimum lokalne dla [tex]x=-1\frac{2}{3}[/tex] i maksimum to wynosi
[tex]f(-1\frac{2}{3})==-3(-1\frac{2}{3}+1)(-1\frac{2}{3}+3)^2=-3*(-\frac{2}{3})*(\frac{4}{3})^2=2*\frac{16}{9}=\frac{32}{9}=3\frac{5}{9}[/tex]
