Odpowiedź:
[tex]W(x)=-(3-x)^2(x+2)[/tex]
Mamy wielomian zapisany w postaci iloczynowej. Żeby dojść do postaci sumy algebraicznej, musimy wymnożyć wszystkie nawiasy, aby uzyskać postać typu [tex]ax^3+bx^2+cx+d[/tex]. Zaczniemy od rozwinięcia nawiasu podniesionego do kwadratu (ze wzoru skróconego mnożenia), a potem wymnożymy powstałe nawiasy przez siebie. Na koniec musimy pamiętać o stojącym z przodu znaku minus.
[tex]W(x)=-(3-x)^2(x+2)=-(3^2-2\cdot3\cdot x+x^2)(x+2)\\\phantom{W(x)}=-(x^2-6x+9)(x+2) = -(x^2\cdot x+x^2\cdot2\\\phantom{W(x)=}-6x\cdot x-6x\cdot2 +9\cdot x+9\cdot2)\\\phantom{W(x)}=-(x^3\underline{+2x^2-6x^2}\underline{\underline{-12x+9x}}+18)\\\phantom{W(x)}=-(x^3\underline{-4x^2}\underline{\underline{-3x}}+18) = -x^3+4x^2+3x-18[/tex]
W ostatnim kroku ostatecznie pozbyliśmy się nawiasu, zamieniając znaki wszystkich składników znajdujących się w nim (bo przed nawiasem stał minus). Uzyskaliśmy pożądaną postać:
[tex]W(x)=-x^3+4x^2+3x-18[/tex]
Sumę współczynników wielomianu najłatwiej jest obliczyć, wstawiając x=1, tj. obliczając W(1). Mamy
[tex]-x^3+4x^2+3x-18\\W(1)=-1^3+4\cdot1^2+3\cdot1-18=-1+4+3-18=-12[/tex]
Zatem suma współczynników wielomianu W wynosi -12.
[Oczywiście można policzyć to "manualnie", tzn. patrząc na współczynniki stojące przed każdą potęgą x i wyraz wolny i sumując. Wówczas mielibyśmy
[tex]-1+4+3-18=-12[/tex]
czyli dokładnie to samo. Metoda przedstawiona przeze mnie wyżej jest bardziej przydatna do złożonych wielomianów, zwłaszcza wtedy, kiedy nie są zapisane jako suma algebraiczna, tylko iloczynowo. Zauważmy, że bez zapisywania wielomianu W jako sumy algebraicznej też moglibyśmy obliczyć sumę jego współczynników! Postępujemy tak samo, czyli obliczamy W(1):
[tex]W(x)=-(3-x)^2(x+2)\\W(1)=-(3-1)^2(1+2)=-(2^2)\cdot3=-(4\cdot3)=-12[/tex]
I widzimy, że wynik jest ten sam.]
