Z treści wynika, że:
[tex]d[/tex] jest nieparzyste
[tex]a+b+c+d[/tex] jest nieparzyste
zatem wnioskiem jest , że [tex]a+b+c[/tex] jest parzyste. Zauważmy teraz, że jeśli wielomian z treści miałby mieć rozwiązanie całkowite to na pewno nie było by ono parzyste bo [tex]ax^3+bx^2+cx[/tex] było by parzyste. A suma liczby parzystej z nieparzystym [tex]d[/tex] nie da zera. Zatem Załóżmy nie wprost, że [tex]x[/tex] jest nieparzystym pierwiastkiem tego wielomianu. Czyli [tex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex] dla pewnego nieparzystego [tex]d[/tex]. Pokażmy, że to również prowadzi do sprzeczności. Gdy [tex]x[/tex] jest nieparzysty to wszystkie jego naturalne potęgi też są nieparzyste zatem mamy trzy nieparzyste liczby [tex](x,x^2,x^3)=(n_1,n_2,n_3)[/tex] mnożące kolejno [tex](c,b,a)[/tex] które to składa się z trzech liczb parzystych lub dwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej. Rozważmy dwa przypadki [tex](a,b,c)=(p,p,p)[/tex] jednak natychmiast widać, że gdy [tex]a,b,c[/tex] są parzyste to [tex]ax^3+bx^2+cx[/tex] też jest parzyste. I najciekawszy przypadek, dwie nieparzyste i jednak parzysta. Też prowadzi do sprzeczności bo prowadzi on do stwierdzenia, że suma trzech liczb nieparzystych i jednaj parzystej jest równa zero (co jest oczywiście niemożliwe). Zatem w każdym przypadku dochodzimy do sprzeczności z założeniem, iż wielomian ma całkowity pierwiastek. Wniosek: wielomian nie ma całkowitych pierwiastków.
