Obliczmy różnice między wyrazami a(n+1) oraz an
a(n+1) - an = [(n+1)+1]/[4(n+1)+5] - [n+1/4n+5] =
= (n+2)/(4n+9) - (n+1)/(4n+5) =
= [(n+2)(4n+5)]/[(4n+9)(4n+5)] - [(n+1)(4n+9)]/[(4n+9)(4n+5)] =
= [(4n²+5n+8n+10)-(4n²+9n+4n+9)]/[(4n+9)(4n+5)] =
= [4n²+13n+10-4n²-13n-9]/[(4n+9)(4n+5)] =
= 1/[(4n+9)(4n+5)]
Jeśli otrzymany wynik będzie dodatni to ciąg jest rosnący, jeśli będzie ujemny to ciąg jest malejący.
Jednakże widzimy że w mianowniku mamy iloczyn dwóch nawiasów (4n+9) oraz (4n+5). Ponieważ n>0 to każdy z tych nawiasów jest dodatni
Zatem cały ułamek jest dodatni. Stąd ciąg jest rosnący.
