Odpowiedź :
1.
x-korzec grochu
y-korzec cebuli
{2x+3y=8
{3x+0,5y=8 //*(-6)
{2x+3y=8
+{-18x-3y=-48
-----------------
-16x=-40//:(-16)
x=2,5
2x+3y=8
2*2,5+3y=8
3y=8-5
3y=3//:3
y=1
Odp.Jeden korzec cebuli kosztował 1grosz.
2.
x-waga borsuka
y-waga lisa
{2x=3y
{2y=x+5
{2x-3y=0
{-x+2y=5//*2
{2x-3y=0
+{-2x+4y=10
----------------
y=10
2x=3y
2x=3*10
2x=30//:2
x=15
Odp. Borsuk waży 15 kg.
3.
x-wiek Basi
y-wiek Agnieszki
{x=y+5
{(x-1)=2(y-1)
{x-y=5
{x-1=2y-2
{x-y=5 //(-1)
{x-2y=-2+1
{-x+y=-5
+{x-2y=-1
--------------
-y=-6//:(-1)
y=6
Odp. Agnieszka ma 6 lat.
4.
k-ilość kobiet na początku zebrania
m-ilość mężczyzn na początku zebrania
{k=m+5
{k+3=2(m+1)
{k=m+5
{k+3=2m+2
{k=m+5
{k-2m=2-3
{k=m+5
{k-2m=-1
k-2m=-1
m+5-2m=-1
-m=-1-5
-m=-6//:(-1)
m=6
k=m+5
k=6+5
k=11
razem
11+3=14
6+1=7
14+7=21
Odp. W zebraniu uczestniczyło 21 osób.
5.
x-cena łańcuszka
y-cena wisiorka
{x+y=105
{y-8+1,2x=100
{x+y=105
{1,2x+y=100+8
{x+y=105//*(-1)
{1,2x+y=108
{-x-y=-105
+{1,2x+y=108
----------------
0,2x=3//:0,2
x=15
x+y=105
15+y=105
y=105-15
y=90
Odp. Wisiorek kosztujeł 90 zł.
6.
2x-4=x+5
2x-x=5+4
x=9
2*x+x+5
2*9+9+5=
18+9+5=32
Odp. Było 32 skrzynie złota.
7.
1 rok=x
2 rok=x-0,4x=0,6x
3 rok=0,5*0,6x=0,3x
x+0,6x+0,3x=3,8
1,9x=3,8//:1,9
x=2
0,3x=0,3*2=0,6t
0,6t=600kg
Odp. W ostatnim roku sprzedał 600kg.
x-korzec grochu
y-korzec cebuli
{2x+3y=8
{3x+0,5y=8 //*(-6)
{2x+3y=8
+{-18x-3y=-48
-----------------
-16x=-40//:(-16)
x=2,5
2x+3y=8
2*2,5+3y=8
3y=8-5
3y=3//:3
y=1
Odp.Jeden korzec cebuli kosztował 1grosz.
2.
x-waga borsuka
y-waga lisa
{2x=3y
{2y=x+5
{2x-3y=0
{-x+2y=5//*2
{2x-3y=0
+{-2x+4y=10
----------------
y=10
2x=3y
2x=3*10
2x=30//:2
x=15
Odp. Borsuk waży 15 kg.
3.
x-wiek Basi
y-wiek Agnieszki
{x=y+5
{(x-1)=2(y-1)
{x-y=5
{x-1=2y-2
{x-y=5 //(-1)
{x-2y=-2+1
{-x+y=-5
+{x-2y=-1
--------------
-y=-6//:(-1)
y=6
Odp. Agnieszka ma 6 lat.
4.
k-ilość kobiet na początku zebrania
m-ilość mężczyzn na początku zebrania
{k=m+5
{k+3=2(m+1)
{k=m+5
{k+3=2m+2
{k=m+5
{k-2m=2-3
{k=m+5
{k-2m=-1
k-2m=-1
m+5-2m=-1
-m=-1-5
-m=-6//:(-1)
m=6
k=m+5
k=6+5
k=11
razem
11+3=14
6+1=7
14+7=21
Odp. W zebraniu uczestniczyło 21 osób.
5.
x-cena łańcuszka
y-cena wisiorka
{x+y=105
{y-8+1,2x=100
{x+y=105
{1,2x+y=100+8
{x+y=105//*(-1)
{1,2x+y=108
{-x-y=-105
+{1,2x+y=108
----------------
0,2x=3//:0,2
x=15
x+y=105
15+y=105
y=105-15
y=90
Odp. Wisiorek kosztujeł 90 zł.
6.
2x-4=x+5
2x-x=5+4
x=9
2*x+x+5
2*9+9+5=
18+9+5=32
Odp. Było 32 skrzynie złota.
7.
1 rok=x
2 rok=x-0,4x=0,6x
3 rok=0,5*0,6x=0,3x
x+0,6x+0,3x=3,8
1,9x=3,8//:1,9
x=2
0,3x=0,3*2=0,6t
0,6t=600kg
Odp. W ostatnim roku sprzedał 600kg.
Odpowiedź:
Zadanie 1
Korzec cebuli kosztował 1 grosz.
Zadanie 2
Borsuk waży 15 kilogramów.
Zadanie 3
Agnieszka ma teraz 6 lat.
Zadanie 4
W zebraniu uczestniczyło 11 osób.
Zadanie 5
Wisiorek kosztuje 90 złotych.
Zadanie 6
Były 42 skrzynie złota.
Zadanie 7
W ostatnim roku pan Zabłocki sprzedał 0,6 tony mydła.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1
Wprowadzamy oznaczenia:
g - liczba korców grochu
c - liczba korców cebuli
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2g+3c=8\\ 3g+0,5c=8 \end{array}[/tex]
Rozwiążemy powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2g+3c=8\\ 3g+0,5c=8\ \vline \cdot (-6) \end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2g+3c=8\\ -18g-3c=-48\end{array}[/tex]
[tex]+++++++[/tex]
[tex]2g+3c-18g-3c=8-48\\-16g=-40\ \vline :(-16)\\g=2,5\\\\2\cdot 2,5+3c=8\\5+3c=8\\3c=3\ \vline :3\\c=1[/tex]
Zadanie 2
Wprowadzamy oznaczenia:
b - waga borsuka
l - waga lisa
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2b=3\ell \\ 2\ell=b+5\end{array}[/tex]
Rozwiążemy powyższy układ równań metodą podstawiania:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2b=3\ell \\ b=2\ell-5\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} 2\cdot (2\ell -5)=3\ell \\ b=2\ell-5\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} 4\ell -10 =3\ell \\ b=2\ell-5\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} \ell=10 \\ b=2\cdot 10-5\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} \ell=10 \\ b=15\end{array}[/tex]
Zadanie 3
Wprowadzamy oznaczenia:
b - wiek Basi
a - wiek Agnieszki
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]\left\{\begin{array}{l} b=a+5 \\ (b-1)=2(a-1)\end{array}[/tex]
Rozwiązujemy powyższy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{l} b=a+5 \\ a+5-1=2a-2\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} b=a+5 \\ a=6\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} b=11 \\ a=6\end{array}[/tex]
Zadanie 4
Wprowadzamy oznaczenia:
n - liczba osób głosujących
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]\dfrac{3}{5}n<7<\dfrac{2}{3}n[/tex]
Rozwiążmy powyższy układ nierówności:
[tex]\dfrac{3}{5}n<7 \ \vline \cdot \dfrac{5}{3}\\n<\dfrac{35}{3}=11\dfrac{2}{3}\\\\7<\dfrac{2}{3}n\ \vline \cdot \dfrac{3}{2}\\n>\dfrac{21}{2}=10,5\\10,5<n<11\dfrac{2}{3} \wedge n \in \mathbb{N}\\n=11[/tex]
Zadanie 5
Wprowadzamy oznaczenia:
x - cena łańcuszka
w - cena wisiorka
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]\left\{\begin{array}{l} x+w=105\\ w-8+1,2x=100\end{array}[/tex]
Rozwiążmy powyższy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{l} x+w=105\\ 1,2x+w=108\end{array}[/tex]
[tex]-------[/tex]
[tex]1,2x+w-x-w=108-105\\0,2x=3\ \vline \cdot 5\\x=15\\\\w=105-15=90[/tex]
Zadanie 6
Wprowadzamy oznaczenia:
o - liczba skrzyń Olka
m - liczba skrzyń Marcina
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]\left\{\begin{array}{l} o=m+5 \\ 2m=o+4\end{array}[/tex]
Rozwiążmy powyższy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{l} o=m+5 \\ 2m=m+5+4\end{array}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l} o=m+5 \\ m=9\end{array}[/tex]
\left\{\begin{array}{l} o=14 \\ m=9\end{array}
Zauważmy, że zachodzi równość [tex]o+2m=14+2\cdot 9=14+18=32[/tex]
Zadanie 7
Wprowadzamy oznaczenie:
x - liczba ton mydła sprzedanych w pierwszym roku
Wtedy:
0,6 x - liczba ton mydła sprzedanych w drugim roku
0,3 x - liczba ton mydła sprzedanych w trzecim roku
Zgodnie z treścią zadania wnioskujemy, że:
[tex]x+0,6x+0,3x=3,8[/tex]
Rozwiążmy powyższe równanie:
[tex]1,9x=3,8\ \vline :1,9\\x=2\\\\0,3x=0,3\cdot 2\, t=0,6\, t[/tex]
szkoła podstawowa
Dział Układy równań