Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P_c=26,5cm^2}[/tex]
Prostopadłościan
Prostopadłościanem jest graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, a dwie dowolne ściany są względem siebie równoległe lub prostopadłe.
Jeżeli a, b to krawędzie podstawy a c - krawędź boczna prostopadłościanu, to:
[tex]\boxed{\begin{array}{ll}\text{Objetosc: }&V=abc\\\text{Pole powierzchni: }&P_c=2ab+2ac+2bc \to P_c=2(ab+ac+bc)\end{array}}[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]\begin{array}{llll}a=(2x-1)cm&b=(x-2)cm&c=xcm&V=5cm^3\end{array}\\\\[/tex]
Każda z krawędzi prostopadłościanu musi mieć dodatnią długość. Wyznaczamy dziedzinę:
[tex]\begin{array}{lll}2x-1 > 0&x-2 > 0&x > 0\\2x > 1 |:2&x > 2&x > 0\\x > \dfrac12&\boxed{x > 2}&x > 0\end{array}[/tex]
[tex]\underline{\underline{D: x\in (2; \infty)}}[/tex]
Układamy równanie i rozwiązujemy:
[tex]abc=5[cm^3]\\(2x-1)(x-2)x=5\\(2x-1)(x^2-2x)=5\\2x^3-4x^2-x^2+2x=5\\2x^3-5x^2+2x-5=0\\x^2(2x-5)+1(2x-5)=0\\(x^2+1)(2x-5)=0[/tex]
[tex]\begin{array}{ll}x^2+1=0&2x-5=0\\x^2\neq -1&2x=5 |:2\\\:&\underline{\underline{x=\dfrac52 \in D}}\end{array}[/tex]
Wyznaczamy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
[tex]P_c=2(2x-1)(x-2)+2(2x-1)x+2(x-2)x\\P_c=2[(2x-1)(x-2)+x(2x-1)+x(x-2)]\\P_c=2(2x^2-4x-x+2+2x^2-x+x^2-2x)\\P_c=2(5x^2-8x+2)\\P_c=10x^2-16x+4[/tex]
Podstawiamy wyznaczoną wcześniej niewiadomą i obliczamy wartość wyrażenia.
[tex]P_c=10\cdot\left(\dfrac52\right)^2-16\!\!\!\!\!\diagup^8\cdot\dfrac5{2\!\!\!\!\diagup}+4\\P_c=10\!\!\!\!\!\diagup^5\cdot\dfrac{25}{4\!\!\!\!\diagup_2}-40+4\\P_c=\dfrac{125}2-36\\P_c=\dfrac{125}2-\dfrac{72}2\\P_c=\dfrac{53}2\\\boxed{P_c=26,5[cm^2]}[/tex]
