[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|l}P_c=\left(36+36\sqrt2\right)cm^2&V=36cm^3\end{array}}[/tex]
Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, który ma jedną podstawę, a wszystkie ściany boczne zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.
Ostrosłup może mieć w podstawie dowolny wielokąt, jednak jeżeli w podstawie znajduje się wielokąt foremny, to ostrosłup nazywamy prawidłowym.
Wzory:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ll}\text{Pole powierzchni: }&P_c=P_p+P_b\\\text{Objetosc:}&V=\dfrac13\cdot P_p\cdot H\end{array}}[/tex]
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o dwukrotność iloczynu długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
[tex]\huge\boxed{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}[/tex]
Rysunek pomocniczy w załączniku.
W tym ostrosłupie prawidłowym, podstawą jest kwadrat o boku długości 6cm. Jeżeli sąsiednie ściany boczne tworzą kąt o mierze 120° oznacza to, że ramionami tego kąta są wysokości sąsiednich ścian bocznych (trójkątów równoramiennych), opadających na ramiona tego trójkąta.
[tex]d=6\sqrt3cm[/tex]
Wyznaczamy długość wysokości ścian bocznych z Twierdzenia Cosinusów:
[tex]d^2=h_1^2+h_1^2-2h_1^2\cdot cos120^\circ\\(6\sqrt2cm)^2=2h_1^2-2h_1^2\cdot(-sin30^\circ)\\72cm^2=2h_1^2-2h_1^2\cdot\left(-\dfrac12\right)\\72cm^2=2h_1^2+h_1^2\\72cm^2=3h_1^2 |:3\\h_1^2=24cm^2 |\sqrt{}\\\underline{h_1=2\sqrt6cm}[/tex]
Pole trójkątnej ściany bocznej jest iloczynem długości boku i opadającej na nią wysokości. Układamy równanie:
[tex]P_{b_1}=\dfrac{ah_2}{2}=\dfrac{bh_1}2\\\\P_{b_1}=\dfrac{6cm\cdot h_2}2=\dfrac{b\cdot 2\sqrt6cm}2\\\\3cm\cdot h_2=b\cdot \sqrt6cm |:3cm\\h_2=\dfrac{b\cdot \sqrt6}3\\\\\underline{h_2=\dfrac{b\sqrt6}3}[/tex]
Obliczamy długość wysokości opadającej na krawędź podstawy oraz krawędź boczną ostrosłupa z Twierdzenia Pitagorasa:
[tex]\left(\dfrac12a\right)^2+h_2^2=b^2\\(3cm)^2+\left(\dfrac{b\sqrt6}3\right)^2=b^2\\9cm^2+\dfrac{6b^2}9=b^2 \\9cm^2+\dfrac23b^2=b^2 |-\dfrac23b^2\\9cm^2=\dfrac13b^2 |\cdot 3\\27cm^2=b^2 |\sqrt{}\\b=\sqrt{27}cm\\\underline{b=3\sqrt3cm}[/tex]
[tex]h_2=\dfrac{3\sqrt3cm \cdot \sqrt6}3\\\\h_2=\sqrt3cm \cdot \sqrt{6}\\\\\underline{h_2=3\sqrt2cm}[/tex]
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa.
[tex]\left(\dfrac12a\right)^2+H^2=h_2^2\\(3cm)^2+H^2=(3\sqrt2cm)^2\\9cm^2+H^2=18cm^2 |-9cm^2\\H^2=9cm^2\\H=3cm[/tex]
Mamy obliczone już wszystkie potrzebne nam wartości. Obliczamy:
1. Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_p=a^2=(6cm)^2=36cm^2\\P_b=4\cdot\dfrac{ah_2}2=2ah_2=2\cdot6cm\cdot3\sqrt2cm=36\sqrt2cm^2\\\boxed{P_c=36cm^2+36\sqrt2cm^2=(36+36\sqrt2)cm^2}[/tex]
2. Objętość:
[tex]V=\dfrac13P_p\cdot H\\\boxed{V=\dfrac13\cdot 36cm^2\cdot 3cm = 36cm^3}[/tex]
