x - jedna przekątna
x + 14 - druga przekątna
a = 17 cm - bok rombu
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.
Czyli przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są połowy przekątnych rombu, a przeciwprostokątnymi - boki rombu.
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Zatem:
[tex]\left(\dfrac x2\right)^2+\left(\dfrac{x+14}2\right)^2=17^2\\\\\dfrac {x^2}4+\dfrac{x^2+28x+196}4=289\\\\\dfrac{2x^2+28x+196}4=289\\\\\dfrac{x^2+14x+98}2=289\qquad/\cdot2\\\\x^2+14x+98=578\\\\x^2+14x-480=0\\\\\Delta=14^2-4\cdot1\cdot(-480)=196+1920=2116\quad\implies\quad \sqrt\Delta=46\\\\x_1=\dfrac{-14-46}{2\cdot1} < 0\ ,\qquad x_1=\dfrac{-14+46}{2\cdot1}=\dfrac{32}{2}=16[/tex]
x to długość przekątnej, więc nie może być ujemna, czyli przekątne rombu mają długości:
Pole rombu to połowa iloczynu jego przekątnych, czyli:
[tex]\large\boxed{\bold{P=\dfrac{x\cdot(x+14)}{2}=\dfrac{16\cdot30}{2}=240\ cm^2}}[/tex]
