Funkcja kwadratowa!!!

O funkcji kwadratowej opisanej wzorem f(x) = a(x-p) + q wiadomo, że ma dwa miejsca zerowe -3 i 9 oraz że najmniejszą jej wartością jest liczba -9.

Wyznacz wartość parametru a i wyznacz wartość parametu p.

f(x) = a(x - p)² + q to wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
W = (p, q) to wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji
q to wartość funkcji na jej wierzchołku (czyli [tex]f_{max}[/tex] lub [tex]f_{min}[/tex])
x = p to oś symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji

Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej o równaniu x=p. To oznacza, że p jest średnią arytmetyczną argumentów, dla których funkcja przyjmuje taką samą wartość:

[tex]f(x_a)=f(x_b)\quad\implies\quad p=\dfrac{x_a+x_b}2[/tex]

Miejsca zerowe funkcji, to argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość 0, czyli:

[tex]f(x_1)=f(x_2)=0\quad\implies\quad p=\dfrac{x_1+x_2}2[/tex]

Zatem:

[tex]\bold{f(-3)=f(9)=0\quad\implies\quad p=\dfrac{-3+9}2=\dfrac62}\\\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \large\boxed{\bold{p=3}}[/tex]

Najmniejszą wartością danej funkcji jest liczba -9, czyli:

q = -9

Stąd:

f(x) = a(x - 3)² - 9

skoro f(9) = 0, to:

0 = a(9 - 3)² - 9

9 = a·6²

36a = 9 /:36

a = ⁹/₃₆

[tex]\large\boxed{\bold{a=\frac14}}[/tex]