Powinowactwo funkcji.
Na rysunku dany jest wykres funkcji y= f(x), której dziedziną jest zbiór
D = ⟨-4, 2⟩. W tym samym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji
y = g(x), gdzie g(x) = f(x/2). Następnie podaj wzór funkcji g bez użycia symbolu funkcji f, wraz z dziedziną.
Powinowactwo prostokątne względem osi OX o skali k, jest to, mówiąc najprościej, rozciągnięcie lub ściśnięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OX o skalę k.
Wzór ogólny:
y = f(k*x)
Czyli, jeśli nasza skala k > 1, to wykres ściśnie się k razy wzdłuż osi OX,
natomiast jeśli skala 0 < k < 1, to wykres rozciągnie się 1/k razy wzdłuż osi OX.
W naszym przypadku mamy k = 1/2. Czyli wykres rozciągnie się dwukrotnie wzdłuż osi OX (rysunek w załączniku).
Bierzemy charakterystyczne punkty funkcji f i przekształcamy je wzdłuż osi OX mnożąc odciętą przez 2:
(-4, -1) → (-8, -1)
(-1, 2) → (-2, 2)
(2, -4) → (4 , -4)
Teraz mamy wyznaczyć wzór funkcji g. Będzie to funkcja klamerkowa złożona z dwóch funkcji liniowych określonych w danej dziedzinie.
Skorzystamy z równania kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty:
[tex]A(x_A,\ y)A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\y=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_B[/tex]
Odczytujemy charakterystyczne punkty:
(-8, -1) i (-2, 2) - pierwsza część
(-2, 2) i ((6, -4) - druga część
1.
[tex]y=\dfrac{2-(-1)}{-2-(-8)}(x-(-8))-1\\\\y=\dfrac{3}{6}(x+8)-1\\\\y=\dfrac{1}{2}x+4-1\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{2}x+3}[/tex]
2.
[tex]y=\dfrac{-4-2}{6-(-2)}(x-(-2))+2\\\\y=\dfrac{-6}{8}(x+2)+2\\\\y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}\\\\\boxed{y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}}[/tex]
Pierwsza część jest określona dla -8 ≤ x ≤ -2, a druga dla -2 ≤ x ≤ 4
Stąd mamy wzór:
[tex]g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{2}x+3&\text{dla}&x\in\left < -8,-2\right > \\\\-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}&\text{dla}&x\in\left < -2,\ 4\right > \end{array}\right[/tex]
Dziedziną funkcji jest zbiór:
[tex]\mathbb{D}=\left < -8,\ 4\right >[/tex]
