Twierdzenie sinusów. Geometria analityczna (wektory, długość odcinka).
3) Bok BC trójkąta ABC ma długość 16√3, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 16. Wyznacz miarę kąta CAB.
Odp: |∠CAB| = 60°
4) Wykaż, że trójkąt PQR jest prostokątny i oblicz jego pole gdy
P(5, 0), Q(3, 6), R(0, 5).
Odp: PQ ⊥ QR, P = 10j²
5) Oblicz obwód trójkąta, którego boki zawierają się w prostych o równaniach x + y = 0, 2x + y = 0, 2x - y + 6 = 0.
Odp: L = 3√2 + √5 + √29
ROZWIĄZANIA:
3)
Kreślimy rysunek poglądowy z odpowiednimi oznaczeniami.
Skorzystamy z twierdzenia sinusów:
[tex]\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a=16\sqrt3,\ R=16,\ |\angle CAB|=\alpha\\\\\dfrac{16\sqrt3}{\sin\alpha}=2\cdot16\\\\\dfrac{16\sqrt3}{\sin\alpha}=32\qquad|\cdot\sin\alpha\neq0\\\\32\sin\alpha=16\sqrt3\qquad|:32\\\\\sin\alpha=\dfrac{16\!\!\!\!\!\diagup^1\sqrt3}{32\!\!\!\!\!\diagup_2}\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:
[tex]\huge\boxed{\alpha=60^o=\dfrac{\pi}{3}}[/tex]
4)
Skorzystamy z iloczynu skalarnego wektorów:
Jeżeli wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0.
[tex]\vec{p}\ \perp\ \vec{q}\ \Rightarrow\ \vec{p}\ \circ\ \vec{q}=0[/tex]
Definicja iloczynu skalarnego:
[tex]\vec{p}=[a,\ b],\ \vec{q}=[c,\ d]\\\\\vec{p}\ \circ\ \vec{q}=a\cdot c+b\cdot d[/tex]
Jak liczymy współrzędne wektora:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A][/tex]
Obliczamy współrzędne wektorów PQ, PR i QR:
[tex]P(5,\ 0),\ Q(3,\ 6),\ R(0,\ 5)\\\\\overrightarrow{PQ}=[3-5,\ 6-0]=[-2,\ 6]\\\\\overrightarrow{PR}=[0-5,\ 5-0]=[-5,\ 5]\\\\\overrightarrow{QR}=[0-3,\ 5-6]=[-3,-1][/tex]
Obliczamy iloczyny skalarne:
[tex]\overrightarrow{PQ}\ \circ\ \overrightarrow{PR}=[-2,\ 6]\ \circ\ [-5,\ 5]=-2\cdot(-5)+6\cdot5=10+30=40\neq0\\\\\overrightarrow{PQ}\ \circ\ \overrightarrow{QR}=[-2,\ 6]\ \circ\ [-3,-1]=-2\cdot(-3)+6\cdot(-1)=6-6=0[/tex]
Mamy iloczyn równy 0. Trzeciego iloczynu nie ma sensu liczyć.
Zatem odcinki PQ i QR są prostopadłe, czyli trójkąt PQR jest prostokątny o kącie prostym PQR. ■
Aby obliczyć pole tego trójkąta, posłużymy się wzorem:
[tex]P_{PQR}=\dfrac{1}{2}|(x_Q-x_P)(y_R-y_P)-(y_Q-y_P)(x_R-x_P)|[/tex]
Podstawiamy:
[tex]P_{PQR}=\dfrac{1}{2}|(3-5)(5-0)-(6-0)(0-5)|\\\\P_{PQR}=\dfrac{1}{2}|(-2)\cdot5-6\cdot(-5)|\\\\P_{PQR}=\dfrac{1}{2}|-10+30|\\\\P_{PQR}=\dfrac{1}{2}|20|\\\\P_{PQR}=\dfrac{1}{2}\cdot20\\\\\huge\boxed{P_{PQR}=10}[/tex]
5)
Musimy znaleźć współrzędne punktów przecięcia prostych rozwiązując układy równań:
[tex]k:x+y=0,\ l:2x+y-2=0,\ m:2x-y+6=0[/tex]
Proste k i l:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+y=0\\2x+y-2=0&|+2\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}x+y=0\\2x+y=2&|\cdot(-1)\end{array}\right\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}x+y=0\\-2x-y=-2\end{array}\right}\\.\qquad-x=-2\qquad|:(-2)\\.\qquad\boxed{x=1}[/tex]
Podstawiamy do pierwszego równania:
[tex]1+y=0\qquad|-1\\\\\boxed{y=-1}[/tex]
Mamy pierwszy punkt A(1, -1).
Proste k i m:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+y=0\\2x-y+6=0&|-6\end{array}\right\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}x+y=0\\2x-y=-6\end{array}\right}\\.\qquad3x=-6\qquad|:3\\.\qquad\boxed{x=-2}\\\\-2+y=0\qquad|+2\\\\\boxed{y=2}[/tex]
Mamy drugi punkt B(-2, 2).
Proste l i m:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2x+y-2=0&|+2\\2x-y+6=0&|-6\end{array}\right\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}2x+y=2\\2x-y=-6\end{array}\right}\\.\qquad4x=-4\qquad|:4\\.\qquad\boxed{x=-1}\\\\2\cdot(-1)+y=2\\-2+y=2\qquad|+2\\\boxed{y=4}[/tex]
Mamy trzeci punkt C(-1, 4).
Długości boków trójkąta (długość odcinka) obliczymy posługując się wzorem:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}[/tex]
Podstawiamy i obliczamy długości boków trójkąta ABC:
[tex]A(1,-1),\ B(-2,\ 2),\ C(-1,\ 4)\\\\|AB|=\sqrt{(-2-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{9\cdot2}=\boxed{3\sqrt2}\\\\|AC|=\sqrt{(-1-1)^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\boxed{\sqrt{29}}\\\\|BC|=\sqrt{(-1-(-2))^2+(4-2)^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\boxed{\sqrt5}[/tex]
Obliczamy obwód trójkąta:
[tex]\huge\boxed{L=3\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{29}}[/tex]
