[tex]\huge\boxed{z=-(1+\sqrt3)(\sin\alpha-i\cos\alpha)}[/tex]
Liczba zespolona:
[tex]z=a+bi\qquad a,b\in\mathbb{R}\ \wedge\ i^2=-1[/tex]
Moduł liczby zespolonej:
[tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]
Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
[tex]z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\\\\cos\varphi=\dfrac{a}{|z|},\ \sin\varphi=\dfrac{b}{|z|}[/tex]
Uprośćmy dane wyrażenie:
[tex](1+i\sqrt3)(1+i)(\cos\alpha+i\sin\alpha)=(1+i+i\sqrt3-1)(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\\\=(1+\sqrt3)i\cdot(\cos\alpha+i\sin\alpha)=(1+\sqrt3)i\cos\alpha-(1+\sqrt3)\sin\alpha[/tex]
stąd:
[tex]a=-(1+\sqrt3)\sin\alpha,\ b=(1+\sqrt3)\cos\alpha[/tex]
Obliczamy moduł liczby:
[tex]|z|=\sqrt{\left[-(1+\sqrt3)\sin\alpha\right]^2+\left[(1+\sqrt3)\cos\alpha\right]^2}\\=\sqrt{(1+\sqrt3)^2\sin^2\alpha+(1+\sqrt3)^2\cos^2\alpha}\\\\=\sqrt{(1+\sqrt3)^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}[/tex]
Skorzystamy z twierdzeń:
[tex]\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\qquad\text{dla}\ a,b\geq0\\\\\sqrt{a^2}=|a|[/tex]
oraz z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\sin^2 x+\cos^2x=1[/tex]
[tex]=\sqrt{(1+\sqrt3)^2}\cdot\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\\\\=|1+\sqrt3|\cdot\sqrt1\\\\=\boxed{1+\sqrt3}[/tex]
Obliczamy wartości:
[tex]\cos\varphi=\dfrac{-(1+\sqrt3)\sin\alpha}{1+\sqrt3}=-\sin\alpha\\\\\sin\varphi=\dfrac{(1+\sqrt3)\cos\alpha}{1+\sqrt3}=\cos\alpha[/tex]
Podstawiamy do postaci trygonometrycznej:
[tex]z=(1+\sqrt3)(-\sin\alpha+i\cos\alpha)\\\\\boxed{z=-(1+\sqrt3)(\sin\alpha-i\cos\alpha)}[/tex]
