Odpowiedź :
Funkcja g, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje dwukrotność tej liczby jest różnowartościowa, ponieważ:
jest to funkcja liniowa ze współczynnikiem kierunkowym różnym od 0, zatem [tex](x_1 \neq x_2) \Rightarrow g(x_1) \neq g(x2)[/tex]
Funkcja h, która każdej liczbie całkowitej ujemnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 7 nie jest różnowartościowa, ponieważ:
[tex]h(x)=h(x-7)[/tex]
Różnowartościowość
Jeśli funkcja jest różnowartościowa, oznacza to, że dla każdego x funkcja ta przyjmuje inną wartość. Można to zapisać wzorem:
[tex](x_1 \neq x_2) \Rightarrow f(x_1) \neq f(x2)[/tex]
Funkcja g
Wzór tej funkcji można zapisać w następujący sposób:
[tex]g(x)=2x[/tex]
Widzimy, że jest to prosta rosnąca funkcja liniowa. Dla funkcji liniowej jeżeli współczynnik kierunkowy jest różny od 0, funkcja jest różnowartościowa. Możemy zatem napisać, że dla tej funkcji prawdziwa jest własność:
[tex](x_1 \neq x_2) \Rightarrow g(x_1) \neq g(x2)[/tex]
Funkcja h
Wiemy, że funkcja ta każdej liczbie całkowitej ujemnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 7. Oznacza to, że dziedzina tej funkcji jest ograniczona, czyli funkcja ta może przyjmować wartości ze zbioru: {0, -1, -2, -3, -4, -5, -6} i powtarzają się one dla co siódmej liczby. Na przykład:
[tex]-1:7=0\ r.-1\\h(-1)=-1\\-8:7=1\ r.-1\\h(-8)=-1\\\\[/tex]
Widzimy zatem, że:
[tex]h(-1)=h(-8)[/tex]
Możemy zatem napisać ogólnie, że:
[tex]h(x)=h(x-7)[/tex]
zatem warunek różnowartościowości nie jest spełniony.
Wniosek: Funkcja ta nie jest różnowartościowa.