1. x = 5√2 lub x = - 5√2
2. Jeżeli r < 4 to prosta k nie ma żadnych punktów wspólnych z okręgiem.
Jeżeli r = 4 to prosta ma k ma jeden punkt wspólny z okręgiem.
Jeżeli r > 4 to prosta k ma dwa punkty wspólne z okręgiem.
3. Pole tego trójkąta wynosi 12 j².
Rysunki pomocnicze do wszystkich zadań znajdują się w załącznikach.
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B oraz równoległej do osi OY, musimy spojrzeć na rysunek pomocniczy. Zauważymy tam tworzący się trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątna ma długość 10, zaś jedna z przyprostokątnych jest połową odcinka AB, czyli ma długość 5√2. Musimy również pamiętać, że prosta, która jest równoległa do osi OY ma równanie x = c, gdzie c jest to miejsce, w którym prosta przecina oś OX.
A więc, aby wyznaczyć miejsce przecięcia prostej z osią OX, należy tak naprawdę wyznaczyć długość boku SC. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa (zobacz rysunek):
|SC|² + |CA|² = |SA|²
|SC|² + (5√2)² = 10²
|SC|² + 25×2 = 100
|SC|² + 50 = 100
|SC|² = 50
|SC| = √50
|SC| = 5√2 i -5√2
Pamiętajmy, że pierwiastkując otrzymujemy dwa wyniki (jeden dodatni drugi ujemny).
Wzory naszych prostych równoległych do osi OY będą miały równania:
x = 5√2 oraz x = -5√2
Aby okrąg miał jeden punkt wspólny z prostą, odległość od środka okręgu do tej prostej musi równać się promieniowi tego okręgu. Zastosujemy tu wzór na odległość punktu od prostej, aby wyliczyć promień okręgu, gdzie okrąg i prosta mają tylko jeden punkt wspólny.
Wzór na odległość punktu P([tex]x_{0},y_{0}[/tex]) od prostej w postaci ogólnej Ax + By + C = 0:
[tex]d=\frac{|A*x_{0}+B*y_{0}+C| }{\sqrt{A^2+B^2} }[/tex]
gdzie:
A - wartość stojąca przy "x"
B - wartość stojąca przy "y"
C - wyraz wolny
Aby podstawić dane do tego wzoru musimy przekształcić naszą prostą na ostać ogólną. Aby to zrobić musimy przenieść wyrażenia na jedną ze stron, tak aby po którejś z nich zostało 0.
y = 3
y - 3 = 0
Wypiszmy wartości współczynników:
A = 0
B = 1
C = -3
Podstawmy je do wzoru:
[tex]d=\frac{|A*x_{0}+B*y_{0}+C| }{\sqrt{A^2+B^2} }\\d=\frac{|0*3+1*(-1)-3| }{\sqrt{0^2+1^2} }\\d =\frac{|0-1-3| }{1 }\\d = \frac{|-4|}{1}\\d=\frac{4}{1}\\ d=4[/tex]
Gdy promień wynosi 4 okrąg z prostą mają jeden punkt wspólny (okrąg czarny na rysunku). Analogicznie, gdy promień będzie mniejszy od 4 to okrąg nie będzie miał żadnego punktu wspólnego z prostą (czerwony okrąg na rysunku). Natomiast gdy promień będzie większy od 4 to okrąg będzie miał dwa punkty wspólne z prostą (niebieski okrąg na rysunku).
W zadaniu 3 tworząc odpowiedni rysunek, mamy podane długości trzech boków trójkąta. Są nimi bok AB = 4, oraz bok AS i bok BS, które są również promieniami okręgu o mierze 2√10. Aby policzyć pole trójkąta wykorzystamy wzór Herona:
[tex]P\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/tex]
gdzie:
s - połowa obwodu trójkąta
a, b, c - poszczególne boki
Policzmy więc obwód tego trójkąta:
4 + 2√10 + 2√10 = 4√10 + 4
Połowa obwodu, czyli nasze "s" będzie wynosiło:
[tex]s=\frac{4\sqrt{10} + 4}{2} =2\sqrt{10}+2[/tex]
Podstawmy teraz "s" do wzoru, obliczając w ten sposób pole trójkąta:
[tex]P\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\P\triangle=\sqrt{(2\sqrt{10} +2)(2\sqrt{10}+2 -2\sqrt{10} )((2\sqrt{10}+2 -2\sqrt{10} )(2\sqrt{10}+2 -4 )}\\ \\P\triangle=\sqrt{(2\sqrt{10} +2)*2*2*(2\sqrt{10}-2 )}\\\\P\triangle = \sqrt{4*(2\sqrt{10} +2)(2\sqrt{10}-2 )}\\\\P\triangle=2\sqrt{(4*10-4)}\\\\P\triangle=2\sqrt{36} \\\\P\triangle=2*6\\\\P\triangle=12[/tex]
W czwartym wierszu obliczeń wyciągnęliśmy przed pierwiastek liczbę 2, (czyli pierwiastek z 4) oraz zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia:
(a - b)(a + b) = a² - b²
Pole tego trójkąta wynosi 12 j².
