Pole koła wynosi 36π cm².
Narysujmy sobie na początek rysunek poglądowy (załącznik). Wiemy, że w okręgu miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Prostą konsekwencją tego stwierdzenia jest wniosek, iż każdy kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty, a w konsekwencji, że przeciwprostokątna dowolnego trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. W takim razie zgodnie z rysunkiem wiemy, że:
x + 2x = 2R
3x = 2R
R = [tex]\frac{3}{2}[/tex]x = 1,5x
Wysokość w trójkącie to taki odcinek który łączy bok z przeciwległym wierzchołkiem pod kątem prostym. Powstał nam więc trójkąt prostokątny o bokach h, R oraz a. Możemy sobie to a wyznaczyć ponieważ:
a = 2x - R = 2x - 1,5 x = 0,5x
Znając to możemy wyznaczyć wysokość h trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2+h^2=R^2\\\\(\frac{1}{2}x)^2+h^2 =(\frac{3}{2}x)^2\\\\h^2 + \frac{1}{4}x^2=\frac{9}{4}x^2\\\\h^2=\frac{9}{4}x^2 -\frac{1}{4}x^2 =\frac{8}{4}x^2 = 2x^2 /\sqrt{}\\\\h=\sqrt2x[/tex]
Skorzystamy teraz z faktu, że znamy pole trójkąta. Mianowicie mając wyznaczoną wysokość i bok trójkąta, możemy obliczyć pole korzystając ze wzoru [tex]P = \frac{1}{2}ah[/tex]. Zatem:
[tex]P = 24\sqrt{2}\\\\P= \frac{1}{2}*3x*\sqrt{2}x\\\\\frac{1}{2}*3x*\sqrt{2}x=24\sqrt{2}\\\\3\sqrt{2}x^2=48\sqrt{2}\\\\x^2=16\\\\x=4[/tex]
Oznacza to, że przeciwprostokątna ma długość 3x = 3*4 = 12. Z tego łatwo wyznaczyć promień:
R = 0,5 * 3x = 0,5 * 12 = 6 cm
A znając promień możemy obliczyć pole koła korzystając ze wzoru
[tex]P = \pi R^2=\pi *6^2=36\pi[/tex] cm².
