Trójkąt CSD (gdzie S jest środkiem boku AB - zabrakło tej informacji w treści) jest prostokątny.
Równoległobok to taki czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe do siebie. Ma on parę kątów ostrych leżących na przeciw siebie (których miary są równe) i parę kątów rozwartych leżących na przeciw siebie (które też są sobie równe). Dwa kąty leżące przy dowolnie wybranym boku mają sumę równą [tex]180^o[/tex].
Trójkąt równoramienny ma dwa boki tej samej długości nazywane ramionami. Trzeci bok nazywamy podstawą. Kąty przy podstawie mają taką samą miarę.
Mamy dany równoległobok ABCD, w którym bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Oznaczmy zatem [tex]|BC|=|AD|=x[/tex], [tex]|AB|=|CD|=2x[/tex]. Punkt S jest środkiem boku AB (powinna być ta informacja w treści zadania). Udowodnimy, że trójkąt CSD jest prostokątny, tzn. że jeden z jego kątów ma miarę [tex]90^o[/tex].
Oznaczmy kąty DAB i ABD jako odpowiednio [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex]. Mamy więc [tex]0^o < \alpha < 90^o,90^o < \beta < 180^o[/tex] oraz [tex]\alpha+\beta=180^o= > \frac{\alpha}2+\frac{\beta}2=90^o[/tex].
Poprowadźmy boki DS i CS trójkąta CSD. Powstały nam dwa trójkąty równoramienne: ostrokątny ASD i rozwartokątny SBC - oba mają ramiona długości x.
Kąty ADS i ASD w trójkącie ASD mają zatem miary: [tex]\frac{180^o-\alpha}2=90^o-\frac{\alpha}2[/tex]. Kąty BSC i BCS w trójkącie SBC mają miary: [tex]\frac{180^o-\beta}2=90^o-\frac{\beta}2[/tex].
Kąty ASD, BSC oraz DSC (jeden z kątów w trójkącie CSD) są kątami przyległymi, zatem ich miara w sumie daje [tex]180^o[/tex]. Więc miara kąta DSC wynosi:
[tex]180^o-(90^o-\frac{\alpha}2)-(90^o-\frac{\beta}2)=180^o-90^o+\frac{\alpha}2-90^o+\frac{\beta}2=\frac{\alpha}2+\frac{\beta}2[/tex].
Z założeń mamy: [tex]\frac{\alpha}2+\frac{\beta}2=90^o[/tex], zatem miara kąta DSC wynosi [tex]90^o[/tex], więc trójkąt CSD jest prostokątny.
Rysunek do zadania z zaznaczonymi długościami boków i miarami kątów w załączniku.
