Określ dziedzine funkcji i oblicz miejsca zerowe funkcji

[tex]f(x)=\frac{5x+1}{6x^2-2x}\\\\6x^2-2x\neq0 \ \ |:2\\\\3x^2-x\neq0\\\\3x\left(x-\frac{1}{3}\right)\neq0\\\\3x\neq0 \ \ \ \wedge \ \ \ x-\frac{1}{3}\neq0\\\\x\neq0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\neq\frac{1}{3}\\\\\boxed{\mathbb{D}:\mathbb{R} \ \backslash \ \{0; \ \frac{1}{3}\}}[/tex]

Zapis taki odczytujemy → dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych za wyjątkiem 0 i 1/3.

b)

Wyrażenie podpierwiastkowe musi być dodatnie lub równe 0.

[tex]f(x)=\sqrt{3-\frac{1}{2}x}\\\\3-\frac{1}{2}x\geq0\\\\-\frac{1}{2}x\geq-3 \ \ |\cdot(-2)\\\\x\leq6\\\\\boxed{x\in(-\infty;6\rangle}[/tex]

Czyli dziedziną podanej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, które są mniejsze lub równe 6.

Zadanie 2:

a)

Robimy równanie, wyrażenie przyrównujemy do 0

[tex]f(x)=25x^2-49\\\\25x^2-49=0\\\\(5x)^2-7^2=0\\\\\underbrace{(5x+7)(5x-7)}_{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}=0\\\\5x+7=0 \ \ \ \vee \ \ \ 5x-7=0\\\\5x=-7 \ \ |:5 \ \ \ \vee \ \ \ 5x=7 \ \ |:5\\\\\boxed{x_1=-1,4} \ \ \ \vee \ \ \ \boxed{x_2=1,4}[/tex]

b)

Podobnie jak wyżej, wyrażenie przyrównujemy do 0

[tex]f(x)=9x^2-18x\\\\9x^2-18x=0 \ \ |:9\\\\x^2-2x=0\\\\x(x-2)=0\\\\x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x-2=0\\\\\boxed{x_1=0} \ \ \ \vee \ \ \ \boxed{x_2=2}[/tex]

Ryszardczernyhowskiviz Ryszardczernyhowskiviz · Answer 2

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zad. 1.

Określ dziedzinę funkcji

a) f(x) = (5x + 1)/(6x² - 2x)

Wiemy, ze w matematyce nie ma takiego działania, jak dzielenie przez

0 - ale wiemy, rozwiązując równania, przekształcając wyrażenia, nierówności, że często występują one w postaci ułamków - a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

Dlatego Dziedziną funkcji, Df: musimy wykluczyć wartość 0 z

mianownika.

W tym celu wyznaczymy miejsca zerowe wyrażenia w mianowniku:

Miejsca zerowe wyznaczamy przyrównując mianownik ułamka wyrażenia zera, = 0,

Najlepiej widać wartości zerowe z postaci iloczynowej mianownika, jak mamy równanie kwadratowe to przyrównujemy wyrażenie z mianownika do 0, liczymy, Δ √∆ , x1, x2, wyznaczamy miejsca zerowe. ale nie zawsze, ten przykład nam coś wyjaśni:

f(x) = (5x + 1)/(6x² - 2x) Z mianownika wyłączymy czynnik przed

nawias, to

f(x) = (5x + 1)/2x(3x - 1)

Widzimy, że dla x = 0, wartość mianownika = 0, dla x = 1/3 to 3x = 1 to 3x - 1 = 0

Jeżeli na początki tego nie postrzegamy, to napiszemy sobie warunek wstępny do Dziedziny:

x ≠ 0 i 3x - 1 ≠ 0 to 3x ≠ 1 /: 3 to x ≠ 1/3 to

Dziedzina: Df: x ∈ R \ {0, 1/3}

[Słownie tą formułę Dziedziny wypowiadamy tak: x należy do zbioru liczb rzeczywistych za wyjątkiem zbioru dwuelementowego {0, 1/3} lub x należy do zbioru liczb rzeczywistych minus zbiór dwuelementowy {0, 1/3}; znak " \ " oznacza odejmowanie zbiorów, różnicę zbiorów, znak ten mamy na klawiaturze.]

b) f(x) = √[(3 - (1/2)x]

Często liczymy takie proste przykłady:

np., √4 = 2 bo 2² = 4, √16 = 4 bo 4² = 16 , ∜16 = 2 bo 2⁴ = 16, ...,

2²; ;2⁴; 2⁶; ..., , 2¹⁰ ...,

Ogólnie: Każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią lub 0, to

pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby dodatniej lub zera

0 - pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje!

Dlatego w dziedzinie funkcji musimy wykluczyć ujemną wartość z pierwiastka parzystego stopnia, to

Dziedzina: Df: 3 - (1/2)x ⩾ 0 /*2 to 6 - x ⩾ 0 to - x ⩾ - 6 /*(-1)

to x ⩽ 6 to Df: x ∈ (- ∞, 6⟩

Zad. 2

Oblicz miejsca zerowe funkcji.

f(x) = 25x² - 49

Df: x ∈ R, bo nie mamy tutaj żadnego ograniczenia w wyrażeniu, wzorze funkcji.

Ale Dziedzinę funkcji ustalamy zawsze, czy jest polecenie czy nie, i zawsze na początku działań, przekształceń...,

W tym m przykładzie również nie musimy liczyć Δ,√∆, ...,

Miejsca zerowe są to punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią 0x (lub punkt styczności wykresu funkcji z osią 0x) - a to ma miejsce zawsze dla y = f(x) = 0, (Dlatego tak się nazywają: miejsca zerowe).

Dlatego dla wyznaczenia miejsc zerowych zawsze przyrównujemy funkcję f(x) do 0, f(x) = 0.

f(x) = 25x² - 49 = 0 to 25x² = 49 /: 25 to x² = 49/25 to

x1 = - √(49/25) = - 7/5 i x2 = √(49/25) = 7/5

to są wyznaczone miejsca zerowe tej funkcji.

b) f(x) = 9x² - 18x, Dziedzina df: x ∈ R

f(x) = 9x² - 18x = 0 to 9x(x - 2) = 0 to x1 = 0 i x2 = 2,

x1, x2, - miejsca zerowe tej funkcji.