Rozwiąż równanie:
[tex]\dfrac{2x+7}{x+1}=x-1\\\\\bold{Odp:\ x=-2\ \vee\ x=4}[/tex]
Podaj, ile rozwiązań ma równanie:
[tex]\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x+2}{x-4}\\\\\bold{Odp:\ 0}[/tex]
Przy wyrażeniach wymiernych musimy pamiętać o określeniu dziedziny wyrażenia (mianownik musi być niezerowy).
Pierwsze równanie możemy przekształcić na proporcję (drugie już jest w tej postaci). Proporcje rozwiązujemy mnożąc na krzyż.
[tex]a)\\\mathbb{D}:x+1\neq0\\\\\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-1\}}[/tex]
[tex]\dfrac{2x+7}{x+1}=\dfrac{x-1}{1}\\\\1(2x+7)=(x+1)(x-1)[/tex]
Po prawej stronie równania skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
a² - b² = (a - b)(a + b)
[tex]2x+7=x^2-1\qquad|-2x-7\\\\x^2-2x-8=0\\\\x^2+2x-4x-8=0\\\\x(x+2)-4(x+2)=0\\\\(x+2)(x-4)=0\iff x+2=0\ \vee\ x-4=0\\\\\huge\boxed{x=-2\in\mathbb{D}}\ \vee\ \boxed{x=4\in\mathbb{D}}[/tex]
[tex]b)\\\mathbb{D}:x+2\neq0\ \wedge\ x-4\neq0\\\\\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-2,\ 4\}}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x+2}{x-4}\\\\1(x-4)=(x+2)(x+2)\\\\x-4=(x+2)^2[/tex]
Po prawej stronie równania skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex]x-4=x^2+4x+4\qquad|-x+4\\\\x^2+3x+8=0[/tex]
Równanie rozwiążemy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego
ax² + bx + c = 0
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
Jeżeli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Jeżeli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci x = -b/2a.
Jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania postaci x = (-b ±√Δ)/2a.
U nas:
[tex]a=1,\ b=3,\ c=8\\\\\Delta=3^2-4\cdot1\cdot8=9-32=-23 < 0[/tex]
