Dane:
[tex]h_0 = 5 m \to[/tex] wysokość pagórka
[tex]m = 400 g \to[/tex] masa piłki
[tex]\Delta t=0,1s \to[/tex] czas działania stopy
[tex]F = 40 N \to[/tex] siła działania stopy
[tex]F_T = 0 \to[/tex] pomijamy tarcie (i opory ruchu, np. powietrza)
Na potrzeby zadania należałoby założyć, że wektor siły działania dziecka na piłkę jest prostopadły do pionu. W ogólności można rozważyć problem w zależności od kąta nachylenia [tex]$\alpha$[/tex] wektora siły od pionu.
Korzystamy z "prawa spadku swobodnego" (lub po prostu - równania ruchu w pionie), by otrzymać:
[tex]h_0 = \frac{1}{2} gt^2\\\\t = \pm \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \to \pm \sqrt{\frac{2*5}{10}} [s] = 1[s][/tex]
Zapisujemy równanie ruchu wzdłuż osi [tex]x[/tex]:
[tex]x (t) = v_0 t[/tex]
Zauważamy, że [tex]a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_0}{\Delta t} \Rightarrow v_0 = a \Delta t = \frac{F}{m} \Delta t[/tex], piszemy więc:
[tex]x(t) = \frac{F}{m} \Delta t * t \to \frac{40 [N]}{0,4[kg]} * 0,1 [s] * 1 [s] = 10 [m][/tex]
Z pkt. b):
[tex]v_0=\frac{F}{m} \Delta t \to 10 [\frac{m}{s}][/tex]
prędkość ta pozostaje stała. Z kolei prędkość pionową opisuje równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego w polu grawitacyjnym o natężeniu [tex]g[/tex]:
[tex]v_y(t) = g t \to 10 [\frac{m}{s}][/tex]
Finalnie prędkość piłki to (z dodawania wektorów):
[tex]v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2} \to \sqrt{10^2 + 10^2} [\frac{m}{s}]= 10 \sqrt2 [\frac{m}{s}][/tex]
(poniżej)
Z zasady zachowania energii możemy wywnioskować wszystkie powyższe:
[tex]E(t) = const = E_{kin}(t) + E_{pot}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t) + mgh(t)[/tex]
innymi słowy:
[tex]v(t) = \sqrt{ 2 g h(t)} + const[/tex]
znamy stąd zależność prędkości ciała od jego wysokości i warunków początkowych (energii kinetycznej nadanej piłce przez kopnięcie dziecka). Tym samym możemy wyznaczyć funkcje (od czasu): prędkości, przyspieszenia, położenia.
