Odpowiedź:
f'(x) = (2arcsinx)' = 2/√(1 - x²)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Do wyprowadzenia pochodnej funkcji f(x) = 2arcsinx
wyjdziemy od sformułowania pochodnej funkcji odwrotnej:
Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f(x) ma funkcję odwrotną x = g(y)
to pochodna funkcji odwrotnej dx/dy = g'(y) równa się odwrotności
pochodnej danej funkcji y = f(x), to dx/dy = g'(y) = 1/f'(x).
Mamy funkcję f(x) = y = arcsinx to funkcja do niej odwrotna jest
postaci x = siny
to f'(x) = y' = 1/(siny)' = 1/cosy = 1/√(1 - sin²y) = 1/√(1 - x²)
gdzie: x ∈ (-1, 1), arcsinx ∈ (-π/2, π/2)
to jeżeli f(x) = arcsinx to f'(x) = (arcsinx)' = 1/√(1 - x²) to jeżeli
f(x) = 2arcsinx to f'(x) = (2arcsinx)' = 2•1/√(1 - x²) = 2/√(1 - x²)
