Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
{ obliczenia zgodnie z rysunkiem w załączniku ]
rysunek II
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30° i 60°.
W takim trójkącie,zachodzą zależności :
jeżeli oznaczymy przyprostokątną przyległą do kąta 60° literą a,
to druga przyprostokątna wynosi a√3, a przeciwprostokątna 2a.
Mamy:
IACI = 4√3 to a =4 =IABI i 2a = 8 = IBCI
Trójkąt ABC ma więc boki długości 4cm, 4√3cm, 8cm.
rysunek I
Punkt D dzieli przeciwprostokątną na połowę, stąd IBDI = 4cm.
Trójkąt ABD ma równe ramiona IABI=IBDI = 4cm, więc i kąty
przy podstawie AD takie same.
Stąd trójkąt ABD jest trójkątem równobocznym o boku a = 4cm.
Należy więc obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.
obliczam wysokość trójkąta h
[tex]a=4cm[/tex]
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex] ← wzór na wysokość w trójkącie równobocznym
[tex]h=\frac{4\sqrt{3} }{2} =2\sqrt{3}[/tex]
[tex]h=2\sqrt{3}cm[/tex]
obliczam promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny r
[tex]r = \frac{1}{3} h[/tex]
[tex]r = \frac{1}{3}h=\frac{1}{3} *2\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3} }{3}[/tex]
[tex]r = \frac{2\sqrt{3} }{3} cm[/tex]
Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABD wynosi [tex]\frac{2\sqrt{3} }{3} cm.[/tex]
