Rozwiązanie:
Równanie funkcji:
[tex](x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})[/tex]
Uproszczenie:
[tex](x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})=0[/tex]
[tex]$x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-2x^{2}+2y^{2}=0[/tex]
Pochodne cząstkowe:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial x} =4x^{3} + 4xy^{2}-4x=4x(x^{2}+y^{2}-1)[/tex]
[tex]$\frac{\partial F}{\partial y} =4yx^{2}+4y^{3}+4y=4y(x^{2}+y^{2}+1)[/tex]
[tex]$\frac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}} =12x^{2}+4y^{2}-4=4(3x^{2}+y^{2}-1)[/tex]
Układ równań:
[tex]$\left \{ {{(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})=0} \atop {4x(x^{2}+y^{2}-1)=0}} \right.[/tex]
Z drugiego równania:
[tex]$x=0 \vee x^{2}+y^{2}=1[/tex]
Dla [tex]x=0[/tex] :
[tex]$y^{4}+2y^{2}=0[/tex]
[tex]$y^{2}(y^{2}+2)=0[/tex]
[tex]y=0[/tex]
[tex]$P_{1}=(0,0)[/tex]
Dla [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex] :
[tex]1-2\Big(x^{2}-(1-x^{2})\Big)=0[/tex]
[tex]1-2(2x^{2}-1)=0[/tex]
[tex]-4x^{2}+3=0[/tex]
[tex](-2x+\sqrt{3} )(-2x-\sqrt{3} )=0[/tex]
[tex]$x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \vee x=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Dla obu wartości możliwe jest:
[tex]$y=-\frac{1}{2} \vee y=\frac{1}{2}[/tex]
Zatem:
[tex]$P_{2}=\Bigg(-\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \Bigg)[/tex]
[tex]$P_{3}=\Bigg(-\frac{\sqrt{3}}{2} ,\frac{1}{2} \Bigg)[/tex]
[tex]$P_{4}=\Bigg(\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \Bigg)[/tex]
[tex]$P_{5}=\Bigg(\frac{\sqrt{3}}{2} ,\frac{1}{2} \Bigg)[/tex]
Teraz obliczamy drugą pochodną funkcji uwikłanej:
[tex]$y''(x)=-\frac{\frac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}} (x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y) } =-\frac{4(3x^{2}+y^{2}-1)}{4y(x^{2}+y^{2}+1)} =-\frac{3x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}y+y^{3}+y}[/tex]
Na koniec sprawdzamy każdy wyznaczony punkt pod kątem istnienia ekstremum:
[tex]y''(P_{1})[/tex] - nie istnieje
[tex]$y''(P_{2})=\frac{3}{2} > 0[/tex]
[tex]$y''(P_{3})=-\frac{3}{2} < 0[/tex]
[tex]$y''(P_{4})=\frac{3}{2} > 0[/tex]
[tex]$y''(P_{5})=-\frac{3}{2} < 0[/tex]
Zatem:
Funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] równe [tex]$-\frac{1}{2}[/tex].
Funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]$x=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] równe [tex]$-\frac{1}{2}[/tex].
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] równe [tex]$\frac{1}{2}[/tex].
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]$x=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] równe [tex]$\frac{1}{2}[/tex].
